Définition 2Homologie cellulaire

Degré d'une application de la sphère dans elle-même

Pour $n \geqslant 0$ , le groupe ${\tilde H_n}({S^n})$ est isomorphe à $\mathbb Z$ (Paire du disque, preuve de (ii)). Un morphisme $u$ d'un groupe $G$ isomorphe à $\mathbb Z$ dans lui-même est la multiplication par un unique entier $d$ : si $g$ engendre $G$ , on a $u(g) = dg$ pour un entier $d$ , unique car $g$ est d'ordre infini, puis $u(mg) = m\,dg$ pour tout $m$ , et le même entier convient pour l'autre générateur $-g$ .

Le degré d'une application continue $f : S^n \to S^n$ est l'entier $\deg f$ tel que $f_*$ soit la multiplication par $\deg f$ sur $\tilde H_n(S^n)$ . On note $\langle x, y \rangle = \sum_i x_iy_i$ , comme au nœud Calottes.

Énoncé

(i) $\deg(g \circ f) = \deg g \cdot \deg f$ et $\deg \mathrm{id} = 1$ . Deux applications homotopes ont le même degré, et un homéomorphisme a pour degré $1$ ou $-1$ .

(ii) Pour $1 \leqslant i \leqslant n + 1$ , la réflexion $r_i$ de $S^n$ qui change le signe de la $i$ -ième coordonnée a pour degré $-1$ . L'application antipodale $x \mapsto -x$ a pour degré $(-1)^{n+1}$ .

(iii) Soit $n \geqslant 1$ et $L$ une composée de réflexions $r_i$ de ${\mathbb R^n}$ ; elle envoie $D^n$ sur $D^n$ et $S^{n-1}$ sur $S^{n-1}$ . Alors $L_*$ est la multiplication par $\deg(L|_{S^{n-1}})$ sur ${H_n}(D^n, S^{n-1})$ .

(iv) Boule chevelue. Si $n$ est pair, toute application continue $v : S^n \to \mathbb R^{n+1}$ telle que $\langle v(x), x \rangle = 0$ pour tout $x$ s'annule en au moins un point.

Démonstration

(i) Par fonctorialité de l'homologie réduite (Homologie réduite), $(g \circ f)_* = g_* \circ f_*$ , et l'invariance par homotopie est le point (iii) du même nœud. Si $f$ est un homéomorphisme, $\deg f \cdot \deg f^{-1} = \deg \mathrm{id} = 1$ , et un entier inversible vaut $\pm 1$ .

(ii) La réflexion $r_1$ . Récurrence sur $n$ . Pour $n = 0$ , $S^0 = \{-1, 1\}$ et $r_1$ échange les deux points ; le groupe $\tilde H_0(S^0)$ est engendré par $[1] - [-1]$ (Homologie réduite, preuve de (ii)), que $r_{1*}$ envoie sur son opposé.

Soit $n \geqslant 1$ . Les ouverts $U = S^n \setminus \{N\}$ et $V = S^n \setminus \{S\}$ du nœud Homologie des sphères sont conservés par $r_1$ , qui fixe les pôles $N$ et $S$ , de première coordonnée nulle. La réflexion envoie donc la suite exacte courte de Mayer-Vietoris réduite (Mayer-Vietoris réduite) sur elle-même, et l'isomorphisme de l'homologie de $\tilde C^{U,V}(S^n)$ sur celle de $S^n$ , induit par l'inclusion, commute avec elle. Par la naturalité (Homologie relative, (ii)), $\delta \circ r_{1*} = (r_1|_{U \cap V})_* \circ \delta,$ où $\delta : \tilde H_n(S^n) \to \tilde H_{n-1}(U \cap V)$ est un isomorphisme, puisque l'homologie réduite de $U$ et de $V$ est nulle (Mayer-Vietoris réduite, (iii)) : ces ouverts sont homéomorphes à $\mathbb R^n$ (Homologie des sphères), qui est étoilé (Homologie réduite, (iii)).

L'inclusion $\iota : S^{n-1} \to U \cap V$ , $y \mapsto (y, 0)$ , est une équivalence d'homotopie (Homologie des sphères, preuve), et $r_1 \circ \iota = \iota \circ r'_1$ , où $r'_1$ est la réflexion de la première coordonnée de $S^{n-1}$ . Par ces isomorphismes, $r_{1*}$ correspond à $r'_{1*}$ , et $\deg r_1 = \deg r'_1 = -1$ par hypothèse de récurrence.

Les autres réflexions. Soit $\tau$ l'homéomorphisme de $S^n$ qui échange les coordonnées $1$ et $i$ . Alors $r_i = \tau \circ r_1 \circ \tau$ , et, par (i), $\deg r_i = (\deg \tau)^2 \deg r_1 = -1.$ Enfin l'application antipodale est la composée des $n + 1$ réflexions $r_1, \dots, r_{n+1}$ .

(iii) La suite réduite de la paire $(D^n, S^{n-1})$ est naturelle (Homologie relative, (iv)) : $\partial \circ L_* = (L|_{S^{n-1}})_* \circ \partial$ , où $\partial : H_n(D^n, S^{n-1}) \to \tilde H_{n-1}(S^{n-1})$ est un isomorphisme (Paire du disque, (ii)). Comme $(L|_{S^{n-1}})_*$ est la multiplication par son degré, $L_*$ l'est aussi.

(iv) Supposons $v(x) \neq 0$ pour tout $x$ , et posons $u(x) = v(x)/\|v(x)\|$ , continue, de norme $1$ et orthogonale à $x$ . L'application $F(x, t) = (1 - 2t)\,x + 2\sqrt{t(1 - t)}\;u(x)$ est continue sur $S^n \times I$ , et, $x$ et $u(x)$ étant orthogonaux et de norme $1$ , $\|F(x, t)\|^2 = (1 - 2t)^2 + 4t(1 - t) = 1.$ C'est donc une homotopie, dans $S^n$ , de l'identité à l'application antipodale. Par (i) et (ii), $(-1)^{n+1} = 1$ , et $n$ est impair.

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Remarque

Le point (iv) est le théorème de la boule chevelue pour les champs seulement continus. Sa version lisse est démontrée par la cohomologie de de Rham au nœud Champs tangents aux sphères, qui renvoie ici pour la version continue ; le degré la donne directement. Pour $n$ impair, le champ $v(x) = (-x_2, x_1, \dots, -x_{n+1}, x_n)$ est orthogonal à $x$ et ne s'annule pas sur la sphère, et l'homotopie de la preuve fait alors tourner chaque point jusqu'à son antipode.

Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire que l'application antipodale, qui renverse toutes les directions, renverse l'orientation : elle est la composée de $n + 1$ réflexions, et son degré vaut $1$ sur les sphères de dimension impaire, comme sur le cercle, où elle est la rotation d'un demi-tour.

Remarque

Pour $n = 1$ , ce degré coïncide, à transport près, avec le degré des lacets du nœud Groupe fondamental du cercle (admis ici pour le cercle unité). La comparaison de ${\pi_1}(S^1)$ à $H_1(S^1)$ est faite au chapitre Théorème de Hurewicz : pour le cercle $\mathbb R/\mathbb Z$ et une application $f$ qui fixe le point $p(0)$ , $f_*$ multiplie le générateur de $H_1$ , classe du lacet $\omega$ qui fait une fois le tour, par le degré du lacet $f \circ \omega$ (Exemples, (i)). Transporter cette égalité au cercle unité de $\mathbb R^2$ , sur lequel le degré est défini ici, demande un homéomorphisme entre les deux cercles, que la trigonométrie de l'analyse réelle fournit ( $t \mapsto (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)$ : l'homéomorphisme de $\mathbb R/2\pi\mathbb Z$ sur le cercle du nœud Paramétrage du cercle, (iv), composé avec celui de $\mathbb R/\mathbb Z$ sur $\mathbb R/2\pi\mathbb Z$ induit par $t \mapsto 2\pi t$ ), et le suivi des applications et du point de base à travers lui ; ce n'est pas fait, et ce n'est pas utilisé.

Repose sur

L'homologie de la paire (Dⁿ, Sⁿ⁻¹)

Sert à

Calcul du bord cellulaire