Champs de vecteurs tangents aux sphères de dimension paire

Notons $\langle x, y \rangle = \sum_i x_iy_i$, $|x| = \langle x, x \rangle^{1/2}$, $X_n = \mathbb R^n \setminus \{0\}$, et $\tilde v : O \to \mathbb R^n$ l'application qui prolonge $v$.

Un champ homogène. Pour $x \in X_n$, le point $x/|x|$ est sur la sphère, et $v(x/|x|) \neq 0$. Posons $$w(x) = |x|\,\frac{\tilde v(x/|x|)}{|\tilde v(x/|x|)|}.$$ C'est une application de classe $C^\infty$ sur $X_n$, par composition (Classe Cᵏ, (iii)) et parce que la norme est de classe $C^\infty$ hors de $0$ (Forme angle solide, preuve de (i)). Elle vérifie $\langle x, w(x) \rangle = 0$ et $|w(x)| = |x|$.

Une homotopie de l'identité à la symétrie. Sur $W = X_n \times \mathbb R$, posons $$F(x, t) = (1 - 2t)\,x + 2t(1 - t)\,w(x).$$ Comme $x$ et $w(x)$ sont orthogonaux et de même norme, $$\begin{aligned} |F(x, t)|^2 &= \Big((1 - 2t)^2 + 4t^2(1 - t)^2\Big) \\ &\quad \times |x|^2. \end{aligned}$$ Le facteur entre parenthèses ne s'annule pas : le premier terme n'est nul que pour $t = \frac12$, où le second vaut $\frac14$. Ainsi $F$ est à valeurs dans $X_n$ ; c'est une homotopie lisse de l'identité de $X_n$ à la symétrie $x \mapsto -x$.

Conclusion. Par Formule d'homotopie, (ii), la symétrie $\varsigma(x) = -x$ induit l'identité sur ${H^{n-1}}(X_n)$. Or $\varsigma^*(x_i) = -x_i$, $\varsigma^*(dx_i) = -dx_i$ (Formes différentielles, (iii)) et $|\varsigma(x)| = |x|$ ; chaque terme de la forme angle solide contient une coordonnée et $n - 1$ différentielles, d'où $$\varsigma^*\sigma_n = (-1)^n\,\sigma_n.$$ Les classes $[\sigma_n]$ et $(-1)^n[\sigma_n]$ sont donc égales. Comme $[\sigma_n] \neq 0$ (Forme angle solide, (iii)), $(-1)^n = 1$, et $n$ est pair.