Proposition 1Extrema liés

Ensemble de niveau d'une submersion et espace tangent

Dans tout le chapitre, $U$ est un ouvert de ${\mathbb R^n}$ , $g = (g_1, \dots, g_p) : U \to \mathbb R^p$ une application de classe C^k, avec $k \geqslant 1$ , et $\Gamma = \{x \in U : g(x) = 0\}$ est l'ensemble de niveau $0$ de $g$ . Une contrainte de la forme $g(x) = c$ s'y ramène, en remplaçant $g$ par $g - c$ .

Soit $b \in \Gamma$ . Un vecteur $v \in \mathbb R^n$ est tangent à $\Gamma$ en $b$ s'il existe $\varepsilon > 0$ et une courbe $\gamma : \,]{-\varepsilon}, \varepsilon[ \to \mathbb R^n$ de classe $C^1$ , à valeurs dans $\Gamma$ , telle que $\gamma(0) = b$ et $\gamma'(0) = v$ . L'ensemble de ces vecteurs est l'espace tangent ${T_b}\Gamma$ à $\Gamma$ en $b$ . Cette définition ne demande rien à $g$ au point $b$ .

On fixe enfin un point $a \in \Gamma$ en lequel $g$ est une submersion, c'est-à-dire en lequel $dg(a)$ est surjective ; cela impose $p \leqslant n$ .

Énoncé

(i) Paramétrage local. Il existe un ouvert $V \subset U$ contenant $a$ , un ouvert $W$ de $\mathbb R^{n-p}$ , et deux applications $\psi : W \to \mathbb R^n$ et $\rho : V \to \mathbb R^{n-p}$ de classe $C^k$ , telles que $\psi(W) = \Gamma \cap V$ et $\rho(\psi(w)) = w$ pour tout $w \in W$ . En particulier, $\psi$ est injective, et $d\psi(w)$ est injective pour tout $w \in W$ .

(ii) Espace tangent. Le point $w_a = \rho(a)$ appartient à $W$ , $\psi(w_a) = a$ , et $T_a\Gamma = \operatorname{Ker} dg(a) = d\psi(w_a)(\mathbb R^{n-p}).$ C'est donc un sous-espace vectoriel de dimension $n - p$ . De plus, tout vecteur de $T_a\Gamma$ est la vitesse en $0$ d'une courbe de classe $C^k$ tracée sur $\Gamma$ .

Démonstration

(i) Comme $g(a) = 0$ , la forme locale des submersions (Submersions, (i)) fournit un ouvert $V \subset U$ contenant $a$ et un $C^k$ -difféomorphisme $\Phi$ de $V$ sur un ouvert $\Phi(V)$ de $\mathbb R^{n-p} \times \mathbb R^p$ tels que $g(x) = \pi(\Phi(x))$ pour tout $x \in V$ , où $\pi(z', z'') = z''$ . Notons aussi $\pi'(z', z'') = z'$ .

Posons $W = \{w \in \mathbb R^{n-p} : (w, 0) \in \Phi(V)\}$ , ouvert comme image réciproque de l'ouvert $\Phi(V)$ par l'application continue $w \mapsto (w, 0)$ , puis $\psi(w) = \Phi^{-1}(w, 0)$ et $\rho = \pi' \circ \Phi$ . Ces deux applications sont de classe $C^k$ , comme composées d'applications linéaires et de $\Phi$ ou de $\Phi^{-1}$ (Classe Cᵏ, (ii) et (iii)).

Pour $x \in V$ , on a $x \in \Gamma$ si et seulement si $\pi(\Phi(x)) = 0$ , c'est-à-dire si et seulement si $\Phi(x)$ est de la forme $(w, 0)$ . Un tel $w$ appartient à $W$ , puisque $\Phi(x) \in \Phi(V)$ , et $x = \psi(w)$ . Réciproquement, $\psi(w) \in V$ et $g(\psi(w)) = \pi(w, 0) = 0$ . Donc $\psi(W) = \Gamma \cap V$ .

Enfin $\rho(\psi(w)) = \pi'(w, 0) = w$ . Si $\psi(w) = \psi(w')$ , on applique $\rho$ et l'on trouve $w = w'$ . La règle de la chaîne (Différentielle, (iii) et (iv)) donne $d\rho(\psi(w)) \circ d\psi(w) = \mathrm{id},$ si bien que $d\psi(w)$ est injective.

(ii) Le point $a$ appartient à $\Gamma \cap V = \psi(W)$ : il s'écrit $\psi(w)$ avec $w \in W$ , et $\rho(a) = w$ . Ainsi $w_a \in W$ et $\psi(w_a) = a$ .

Première inclusion. Soit $v \in T_a\Gamma$ , et $\gamma$ une courbe comme dans la définition. Elle est à valeurs dans $\Gamma$ , donc $g \circ \gamma$ est nulle sur $]{-\varepsilon}, \varepsilon[$ . Par la règle de la chaîne (Différentielle, (ii) et (iv)), sa dérivée en $0$ est $dg(a)\gamma'(0)$ , qui est donc nulle : $T_a\Gamma \subset \operatorname{Ker} dg(a)$ .

Seconde inclusion. Soit $h \in \mathbb R^{n-p}$ . L'ouvert $W$ contient $w_a$ , donc il existe $\varepsilon > 0$ tel que $w_a + th \in W$ pour $|t| < \varepsilon$ . La courbe $\gamma(t) = \psi(w_a + th)$ est de classe $C^k$ , à valeurs dans $\psi(W) \subset \Gamma$ , et vérifie $\gamma(0) = a$ et $\gamma'(0) = d\psi(w_a)h$ . Ainsi $d\psi(w_a)(\mathbb R^{n-p}) \subset T_a\Gamma$ .

Dimensions. L'application $d\psi(w_a)$ étant injective, son image est de dimension $n - p$ . Comme $dg(a)$ est surjective sur $\mathbb R^p$ , son noyau est de dimension $n - p$ par le théorème du rang (Théorème du rang).

On a donc $d\psi(w_a)(\mathbb R^{n-p}) \subset T_a\Gamma \subset \operatorname{Ker} dg(a),$ où les deux sous-espaces extrêmes ont la même dimension : ils sont égaux (Dimension, (iii)), et $T_a\Gamma$ leur est égal. Tout vecteur de $T_a\Gamma$ est alors de la forme $d\psi(w_a)h$ , vitesse de la courbe $C^k$ construite plus haut.

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Remarque

Le point (i) dit qu'au voisinage de $a$ , l'ensemble $\Gamma$ est décrit sans redondance par $n - p$ paramètres réels : chacune des $p$ équations indépendantes retire un degré de liberté. Pour la sphère $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1$ de $\mathbb R^3$ , avec $p = 1$ et $dg(a)h = 2(a_1h_1 + a_2h_2 + a_3h_3)$ , l'espace tangent en $a$ est le plan des $h$ tels que $a_1h_1 + a_2h_2 + a_3h_3 = 0$ , de dimension $2$ .

Remarque

L'hypothèse de submersion ne peut pas être omise : sans elle, $T_a\Gamma$ n'est même pas toujours un sous-espace vectoriel. Pour $g(x, y) = xy$ , l'ensemble $\Gamma$ est la réunion des deux axes, et $dg(0, 0) = 0$ .

Les vitesses $(v_1, 0)$ et $(0, v_2)$ sont tangentes en $(0, 0)$ , le long des courbes $t \mapsto (tv_1, 0)$ et $t \mapsto (0, tv_2)$ .

En revanche, si $\gamma$ est tracée sur $\Gamma$ avec $\gamma(0) = (0, 0)$ et $\gamma'(0) = (v_1, v_2)$ , où $v_1 \neq 0$ et $v_2 \neq 0$ , les quotients $\gamma_1(t)/t$ et $\gamma_2(t)/t$ tendent vers $v_1$ et $v_2$ , si bien que $\gamma_1(t)\gamma_2(t)$ est non nul pour $t \neq 0$ assez petit, ce qui contredit $\gamma(t) \in \Gamma$ .

L'ensemble $T_{(0,0)}\Gamma$ est donc la réunion des deux axes, qui n'est pas stable par addition, alors que $\operatorname{Ker} dg(0, 0)$ est le plan tout entier.

Remarque

Si $g$ est de classe $C^\infty$ et une submersion en chaque point de $\Gamma$ , l'ensemble $\Gamma$ est une sous-variété de dimension $n - p$ (Sous-variétés de ℝⁿ, (i)), et $T_a\Gamma$ est son espace tangent au sens du nœud Tangent à une sous-variété, défini par des courbes seulement dérivables en $0$ .

Les deux définitions donnent le même espace, puisqu'elles conduisent toutes deux à $\operatorname{Ker} dg(a)$ . La géométrie différentielle, qui vient après ce chapitre, en fera le point de départ de la notion de vecteur tangent.

Repose sur

Forme locale des submersions et fonctions implicites

Sert à

Théorème des extrema liés