Proposition 2Géométrie différentielle

Espace tangent à une sous-variété

Soit $M$ une sous-variété de dimension $d$ de ${\mathbb R^n}$ et $a \in M$ . Un vecteur $v \in \mathbb R^n$ est tangent à $M$ en $a$ s'il existe $\varepsilon > 0$ et une courbe $\gamma : \,]{-\varepsilon}, \varepsilon[ \to \mathbb R^n$ à valeurs dans $M$ , dérivable en $0$ , avec $\gamma(0) = a$ et $\gamma'(0) = v$ . L'ensemble de ces vecteurs est l'espace tangent ${T_a}M$ .

Énoncé

Si $\Phi$ redresse $M$ près de $a$ , et si $F$ est une équation de $M$ près de $a$ au sens du nœud Sous-variétés de ℝⁿ, alors $\begin{aligned} T_aM &= d\Phi(a)^{-1}\big(\mathbb R^d \times \{0\}\big) \\ &= \operatorname{Ker} dF(a). \end{aligned}$ En particulier, $T_aM$ est un sous-espace vectoriel de dimension $d$ , qui ne dépend ni de $\Phi$ ni de $F$ . Pour la sphère, $T_aS^{n-1} = \{h : \sum a_ih_i = 0\}$ .

a = (3/5, 4/5)

, la vitesse

\gamma'(0)

d'une courbe

\gamma

tracée sur le cercle vérifie

\frac35 h_1 + \frac45 h_2 = 0

: elle appartient à la droite vectorielle

T_aS^1

, de direction

(4, -3)

, qui passe par

0

et non par

a

. L'erreur fréquente est de confondre

T_aS^1

avec la tangente affine

a + T_aS^1

, en pointillé, que l'on dessine d'habitude : l'espace tangent est un sous-espace vectoriel, et la tangente affine n'en est que la translatée.

Démonstration

Soit $\gamma$ comme dans la définition. Étant dérivable en $0$ , $\gamma$ y est continue, donc $\gamma(t) \in U \cap M$ pour $|t|$ petit, et $F \circ \gamma = 0$ au voisinage de $0$ . La règle de la chaîne donne $dF(a)\gamma'(0) = 0$ : ainsi $T_aM \subset \operatorname{Ker} dF(a)$ .

Réciproquement, soit $v$ tel que $d\Phi(a)v = (w, 0)$ . Comme $a \in M$ , $\Phi(a) \in \mathbb R^d \times \{0\}$ , et pour $|t|$ petit, $\Phi(a) + t(w, 0)$ appartient à l'ouvert $\Phi(U)$ et à $\mathbb R^d \times \{0\}$ . La courbe $\gamma(t) = \Phi^{-1}\big(\Phi(a) + t(w, 0)\big)$ est donc à valeurs dans $M$ , et $\gamma'(0) = d\Phi(a)^{-1}(w, 0) = v$ . On obtient $d\Phi(a)^{-1}(\mathbb R^d \times \{0\}) \subset T_aM$ .

Le premier ensemble est de dimension $d$ , image d'un sous-espace de dimension $d$ par un isomorphisme ; le noyau de $dF(a)$ est de dimension $n - (n - d) = d$ par le théorème du rang. Les inclusions $d\Phi(a)^{-1}(\mathbb R^d \times \{0\}) \subset T_aM \subset \operatorname{Ker} dF(a)$ entre espaces de même dimension sont des égalités (Dimension, (iii)). Pour la sphère, $dF(a)h = 2\sum a_ih_i$ .

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Remarque

La définition par les courbes est intrinsèque : elle ne fait intervenir ni carte ni équation. La démonstration montre que le résultat ne dépend donc pas du choix de $\Phi$ ou de $F$ , ce qui n'aurait rien d'évident si l'on avait défini $T_aM$ comme un noyau.

Remarque

Le calcul différentiel a déjà établi la même égalité, avec des courbes de classe $C^1$ , pour l'ensemble de niveau d'une application de classe $C^1$ en un point où elle est une submersion (Ensembles de niveau) ; c'est sur elle que repose le théorème des multiplicateurs de Lagrange (Multiplicateurs de Lagrange). Lorsque cet ensemble de niveau est une sous-variété, les deux définitions donnent le même espace : les courbes de classe $C^1$ sont dérivables en $0$ , ce qui donne une inclusion, et les deux espaces sont égaux à $\operatorname{Ker} dg(a)$ . Le nœud Espace tangent en donnera une troisième définition, par les cartes, valable sur une variété abstraite et isomorphe à celle-ci par son point (iii).

Repose sur

Sous-variétés de ℝⁿ

Sert à

Espace tangent et application linéaire tangente