Théorème 1Géométrie différentielle

Sous-variétés de ℝⁿ

Une partie $M$ de ${\mathbb R^n}$ est une sous-variété de dimension $d$ , avec $0 \leqslant d \leqslant n$ , si pour tout $a \in M$ il existe un ouvert $U$ contenant $a$ et un $C^\infty$ -difféomorphisme $\Phi$ de $U$ sur un ouvert de $\mathbb R^n$ tels que $\Phi(U \cap M) = \Phi(U) \cap \big(\mathbb R^d \times \{0\}\big).$ Localement, et à difféomorphisme près, $M$ est un morceau de sous-espace vectoriel.

Pour la courbe

M

d'équation

y = x^2/2

dans

\mathbb R^2

, le difféomorphisme

\Phi(x, y) = (x, y - x^2/2)

, de réciproque

(u, v) \mapsto (u, v + u^2/2)

, envoie le disque

U

sur

\Phi(U)

U \cap M

sur un segment de l'axe

\mathbb R \times \{0\}

. Les courbes voisines

y - x^2/2 = c

, en gris, deviennent les segments horizontaux

v = c

Énoncé

(i) Équations. $M$ est une sous-variété de dimension $d$ si et seulement si, pour tout $a \in M$ , il existe un ouvert $U$ contenant $a$ et $F : U \to \mathbb R^{n-d}$ de classe $C^\infty$ , avec $dF(a)$ surjective, tels que $M \cap U = F^{-1}(0)$ .

(ii) Graphes. Le graphe d'une application $\varphi : \Omega \to \mathbb R^{n-d}$ de classe $C^\infty$ sur un ouvert $\Omega$ de $\mathbb R^d$ est une sous-variété de dimension $d$ de $\mathbb R^n$ .

(iii) La sphère ${S^{n-1}} = \{x \in \mathbb R^n : x_1^2 + \cdots + x_n^2 = 1\}$ est une sous-variété de dimension $n - 1$ .

Démonstration

(i) Si $\Phi$ redresse $M$ près de $a$ , $F = (\Phi_{d+1}, \dots, \Phi_n)$ convient : $dF(a)$ est formée des $n - d$ dernières lignes de la matrice inversible $J_\Phi(a)$ , donc surjective, et pour $x \in U$ , $x \in M$ équivaut à $\Phi(x) \in \mathbb R^d \times \{0\}$ , c'est-à-dire à $F(x) = 0$ .

Réciproquement, la forme locale des submersions (Submersions, (i)), avec $F(a) = 0$ , fournit un ouvert $V \subset U$ contenant $a$ et un difféomorphisme $\Phi$ de $V$ sur un ouvert tels que $F = \pi \circ \Phi$ sur $V$ . Pour $x \in V$ , $x \in M$ équivaut à $F(x) = 0$ , donc à $\Phi(x) \in \mathbb R^d \times \{0\}$ .

(ii) Le graphe est $F^{-1}(0)$ pour $F(x, y) = y - \varphi(x)$ sur $\Omega \times \mathbb R^{n-d}$ , et $dF(x, y)(h, \ell) = \ell - d\varphi(x)h$ est surjective, puisque $\ell$ est arbitraire. On applique (i).

(iii) $S^{n-1} = F^{-1}(0)$ avec $F(x) = \sum x_i^2 - 1$ , polynomiale donc $C^\infty$ , et $dF(x)h = 2\sum x_i h_i$ . Pour $x \in S^{n-1}$ , $dF(x)x = 2 \neq 0$ : la forme linéaire $dF(x)$ est surjective sur ${\mathbb R}$ .

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Remarque

L'erreur la plus répandue est de conclure qu'une partie n'est pas une sous-variété parce qu'une équation particulière qui la définit a une différentielle nulle. La droite $\{y = 0\}$ de $\mathbb R^2$ est l'ensemble des zéros de $F(x, y) = y^2$ , dont la différentielle est nulle en tout point de la droite ; c'est pourtant une sous-variété, car $y$ est une meilleure équation.

Remarque

Le groupe orthogonal $O(n) = \{A : {}^tA A = I\}$ est une sous-variété de ${\mathcal M_n}(\mathbb R)$ , de dimension $n(n - 1)/2$ .

L'application $F(A) = {}^tAA$ , à valeurs dans l'espace des matrices symétriques, a pour différentielle $H \mapsto {}^tHA + {}^tAH,$ qui est surjective en tout $A \in O(n)$ : pour $S$ symétrique, $H = AS/2$ convient.

C'est le premier exemple de groupe de Lie, qui rejoint les groupes topologiques.

Repose sur

Calcul différentiel

Sert à

Espace tangent à une sous-variété Ouverts, sous-variétés, sphères et produits