Théorème 4Calcul différentiel

Forme locale des submersions et fonctions implicites

Une application $F : U \to \mathbb R^q$ de classe $C^k$ sur un ouvert $U$ de ${\mathbb R^n}$ est une submersion en $a$ si $dF(a)$ est surjective, ce qui impose $q \leqslant n$ .

Énoncé

(i) Forme locale. Si $F$ est de classe $C^k$ , $k \geqslant 1$ , et si $dF(a)$ est surjective, il existe un ouvert $V$ contenant $a$ et un $C^k$ -difféomorphisme $\Phi$ de $V$ sur un ouvert de $\mathbb R^{n-q} \times \mathbb R^q$ tels que $F(x) = F(a) + \pi(\Phi(x))$ sur $V$ , où $\pi(z', z'') = z''$ .

(ii) Fonctions implicites. Soit $U$ un ouvert de $\mathbb R^m \times \mathbb R^q$ , $F : U \to \mathbb R^q$ de classe $C^k$ , et $(a, b) \in U$ tel que $F(a, b) = 0$ et que la différentielle partielle $\partial_y F(a, b) : \ell \mapsto dF(a, b)(0, \ell)$ soit inversible. Il existe un ouvert $A$ de $\mathbb R^m$ contenant $a$ , un ouvert $V$ contenant $(a, b)$ et une application $\varphi : A \to \mathbb R^q$ de classe $C^k$ tels que, pour $(x, y) \in V$ , $\begin{aligned} &F(x, y) = 0 \\ &\iff \big(x \in A \text{ et } y = \varphi(x)\big). \end{aligned}$

Démonstration

(i) Le noyau $K$ de $dF(a)$ est de dimension $n - q$ , par le théorème du rang (Théorème du rang). Complétons une base $(v_1, \dots, v_{n-q})$ de $K$ en une base de $\mathbb R^n$ (Dimension, (iii)), et soit $L : \mathbb R^n \to \mathbb R^{n-q}$ l'application qui associe à $x$ ses $n - q$ premières coordonnées dans cette base ; elle est linéaire, et sa restriction à $K$ est bijective.

Posons $\Phi(x) = \big(L(x), F(x) - F(a)\big)$ , de classe $C^k$ , avec $d\Phi(a)h = \big(Lh, dF(a)h\big)$ . Si $d\Phi(a)h = 0$ , alors $h \in K$ et $Lh = 0$ , donc $h = 0$ : $d\Phi(a)$ est injective, donc inversible. Le théorème d'inversion locale (Inversion locale) fournit $V$ , et $\pi \circ \Phi = F - F(a)$ par construction.

(ii) Posons $\Phi(x, y) = \big(x, F(x, y)\big)$ . Alors $\begin{aligned} d\Phi(a, b)(h, \ell) &= \big(h,\, dF(a, b)(h, 0) \\ &\qquad + \partial_y F(a, b)\ell\big)\,; \end{aligned}$ s'il est nul, $h = 0$ puis $\partial_y F(a, b)\ell = 0$ , donc $\ell = 0$ .

Par inversion locale, $\Phi$ induit un difféomorphisme d'un ouvert $V \ni (a, b)$ sur un ouvert $W \ni (a, 0)$ , de réciproque de la forme $\Psi(x, z) = \big(x, \psi(x, z)\big)$ puisque $\Phi$ conserve la première composante.

Soit $A = \{x : (x, 0) \in W\}$ , ouvert comme image réciproque de $W$ par l'application continue $x \mapsto (x, 0)$ , et $\varphi(x) = \psi(x, 0)$ , de classe $C^k$ . Pour $(x, y) \in V$ , $F(x, y) = 0$ équivaut à $\Phi(x, y) = (x, 0)$ , c'est-à-dire à $(x, 0) \in W$ et $(x, y) = \Psi(x, 0) = (x, \varphi(x))$ .

□

Remarque

Pour $F(x, y) = x^2 + y^2 - 1$ au point $(0, 1)$ , $\partial_y F = 2y$ vaut $2$ , et l'équation définit localement $y = \sqrt{1 - x^2}$ . Au point $(1, 0)$ , $\partial_y F$ s'annule, et en effet $y$ n'est fonction de $x$ sur aucun voisinage ; mais $\partial_x F = 2 \neq 0$ , et c'est $x$ qui s'exprime en fonction de $y$ .

Dans la boîte bleue, chaque verticale coupe le cercle une seule fois : le cercle y est le graphe de

x \mapsto \sqrt{1 - x^2}

. Près de

(1, 0)

, la verticale

x = 4/5

le coupe aux deux points

(4/5, 3/5)

(4/5, -3/5)

, si bien que

y

n'y est pas fonction de

x

; dans la boîte verte, le cercle est en revanche le graphe de

y \mapsto \sqrt{1 - y^2}

, à droite de l'axe des

y

Remarque

La forme locale (i) dit que, vue dans de bonnes coordonnées, une submersion est une projection. C'est exactement ce qui permettra de « redresser » les ensembles de niveau en sous-espaces affines au nœud Sous-variétés de ℝⁿ de la géométrie différentielle, et, dès le chapitre Extrema liés, de paramétrer un ensemble de niveau pour y chercher les extrema d'une fonction (Ensembles de niveau).

Repose sur

Théorème d'inversion locale

Sert à

Extrema liés et multiplicateurs de Lagrange