ChapitreCalcul différentiel

Extrema liés et multiplicateurs de Lagrange

On cherche les extrema d'une fonction $f$ sur un ensemble de niveau $\Gamma = \{g = 0\}$, où $g : U \to \mathbb R^p$ est de classe $C^1$ sur un ouvert de ${\mathbb R^n}$. En un point où $g$ est une submersion, la forme locale des submersions paramètre $\Gamma$ par $n - p$ variables, et l'espace tangent, formé des vitesses des courbes tracées sur $\Gamma$, est le noyau de $dg(a)$.

Le théorème des extrema liés en découle : en un extremum de $f$ sur $\Gamma$, la différentielle $df(a)$ s'annule sur cet espace tangent, et s'écrit donc de façon unique $\sum_i \lambda_i\, dg_i(a)$ ; les $\lambda_i$ sont les multiplicateurs de Lagrange. Au second ordre, c'est la forme hessienne du lagrangien $f - \sum_i \lambda_i g_i$, restreinte à l'espace tangent, qui départage les candidats, par les résultats du chapitre « Formes quadratiques ».

Le chapitre se termine par l'inégalité arithmético-géométrique, les extrema d'une forme quadratique sur la sphère, qui sont des valeurs propres, et la distance d'un point à un ensemble de niveau. Il réunit les deux branches du calcul différentiel, les submersions et les formes quadratiques. Aucune forme du choix n'intervient.