Théorème 2Extrema liés

Conditions du second ordre pour un extremum lié

Les notations sont celles des nœuds Ensembles de niveau et Multiplicateurs de Lagrange. On suppose $f$ et $g$ de classe C^2 sur $U$ , $a \in \Gamma$ tel que $dg(a)$ soit surjective, et $\lambda \in \mathbb R^p$ tel que $df(a) = \sum_i \lambda_i\, dg_i(a)$ : c'est le cas, par le théorème des extrema liés, si $f$ admet en $a$ un extremum lié.

Le lagrangien à multiplicateurs fixés est $L(x) = \Lambda(x, \lambda) = f(x) - \sum_i \lambda_i\, g_i(x)$ . Il est de classe $C^2$ sur $U$ , vérifie $dL(a) = 0$ , et coïncide avec $f$ sur $\Gamma$ . Sa matrice hessienne en $a$ est $H_L(a) = H_f(a) - \sum_i \lambda_i\, H_{g_i}(a),$ et l'on note $Q(v) = {}^tv\,H_L(a)\,v$ sa forme hessienne. C'est la restriction de $Q$ au sous-espace $T_a\Gamma$ qui décide.

Énoncé

(i) Lemme. Soient $W$ , $\psi$ et $w_a$ comme au nœud Ensembles de niveau, (i) et (ii), avec $k = 2$ . La fonction $F = f \circ \psi$ est de classe $C^2$ sur l'ouvert $W$ , $w_a$ en est un point critique, et pour tout $h \in \mathbb R^{n-p}$ ${}^th\,H_F(w_a)\,h = Q\big(d\psi(w_a)h\big).$

(ii) Condition nécessaire. Si $f$ admet en $a$ un minimum local lié, alors $Q(v) \geqslant 0$ pour tout $v \in T_a\Gamma$ . Si elle y admet un maximum local lié, $Q(v) \leqslant 0$ pour tout $v \in T_a\Gamma$ .

(iii) Condition suffisante. Si $Q(v) > 0$ pour tout $v \in T_a\Gamma$ non nul, $f$ admet en $a$ un minimum local lié strict. Si $Q(v) < 0$ pour tout $v \in T_a\Gamma$ non nul, elle y admet un maximum local lié strict.

(iv) Si $Q$ prend sur $T_a\Gamma$ une valeur strictement positive et une valeur strictement négative, $f$ n'admet pas d'extremum lié en $a$ .

Démonstration

(i) Le lagrangien $L$ est de classe $C^2$ comme combinaison linéaire de fonctions $C^2$ (Classe Cᵏ, (ii)), et $dL(a) = df(a) - \sum_i \lambda_i\, dg_i(a) = 0$ . Comme $\psi(W) \subset \Gamma$ , les $g_i \circ \psi$ sont nulles, et $F = L \circ \psi$ . Par composition, $F$ est de classe $C^2$ , et la règle de la chaîne donne $dF(w_a) = dL(a) \circ d\psi(w_a) = 0$ .

Un calcul. Soit $G$ une fonction réelle de classe $C^2$ sur un ouvert, et $c$ une courbe de classe $C^2$ à valeurs dans cet ouvert, définie sur un intervalle ouvert contenant $0$ . Par la règle de la chaîne (Différentielle, (ii) et (iv)), $(G \circ c)'(t) = \sum_j \partial_j G(c(t))\, c_j'(t).$

Chaque $\partial_j G$ est de classe $C^1$ : la même règle montre que $t \mapsto \partial_j G(c(t))$ est dérivable, de dérivée $\sum_i \partial_i\partial_j G(c(t))\, c_i'(t)$ , et $c_j'$ est dérivable. La dérivée d'un produit (Opérations, (ii)) donne $\begin{aligned} (G \circ c)''(0) &= \sum_{i,j} \partial_i\partial_j G(c(0))\, c_i'(0)\, c_j'(0) \\ &\quad + \sum_j \partial_j G(c(0))\, c_j''(0). \end{aligned}$

Les deux expressions. Fixons $h$ , et $\varepsilon > 0$ tel que $w_a + th \in W$ pour $|t| < \varepsilon$ , et posons $\varphi(t) = F(w_a + th)$ . Avec $G = F$ et la courbe $t \mapsto w_a + th$ , de dérivée seconde nulle, le calcul donne $\varphi''(0) = {}^th\,H_F(w_a)\,h$ .

Mais $\varphi(t) = L(c(t))$ , où $c(t) = \psi(w_a + th)$ est de classe $C^2$ , avec $c(0) = a$ et $c'(0) = d\psi(w_a)h$ , que l'on note $v$ . Avec $G = L$ , le calcul donne $\varphi''(0) = \sum_{i,j} \partial_i\partial_j L(a)\, v_i v_j = Q(v),$ puisque les $\partial_j L(a)$ sont nulles. On égale les deux expressions de $\varphi''(0)$ .

(ii) Supposons que $f$ admette en $a$ un minimum local lié, de rayon $r$ . L'application $\psi$ est continue en $w_a$ : il existe $\eta > 0$ tel que $\|\psi(w) - a\| < r$ pour tout $w \in W$ vérifiant $\|w - w_a\| < \eta$ . Pour ces $w$ , le point $\psi(w)$ est dans $\Gamma$ , et $F(w) = f(\psi(w)) \geqslant f(a) = F(w_a)$ .

Ainsi $F$ admet en $w_a$ un minimum local sur l'ouvert $W$ , et sa forme hessienne y est positive (Points critiques, (ii)). Par (i), $Q(d\psi(w_a)h) \geqslant 0$ pour tout $h$ , et $d\psi(w_a)(\mathbb R^{n-p}) = T_a\Gamma$ (Ensembles de niveau, (ii)). Pour un maximum, on remplace $f$ par $-f$ , $\lambda$ par $-\lambda$ , donc $L$ et $Q$ par leurs opposés.

(iii) Soit $h \neq 0$ . Le vecteur $v = d\psi(w_a)h$ est non nul, $d\psi(w_a)$ étant injective, et il appartient à $T_a\Gamma$ : par (i), ${}^th\,H_F(w_a)\,h = Q(v) > 0$ .

La forme hessienne de $F$ en $w_a$ est donc définie positive, et $F$ admet en ce point critique un minimum local strict (Extrema, (i)) : il existe $\eta > 0$ tel que $F(w) > F(w_a)$ pour tout $w \in W$ vérifiant $0 < \|w - w_a\| < \eta$ .

L'application $\rho$ du nœud Ensembles de niveau est continue en $a$ , et $\rho(a) = w_a$ : il existe $r > 0$ tel que la boule $B(a, r)$ soit contenue dans $V$ et que $\|\rho(x) - w_a\| < \eta$ pour $\|x - a\| < r$ .

Soit $x \in \Gamma$ tel que $0 < \|x - a\| < r$ . Alors $x \in \Gamma \cap V = \psi(W)$ , donc $x = \psi(w)$ avec $w = \rho(x) \in W$ , $\|w - w_a\| < \eta$ , et $w \neq w_a$ puisque $x \neq a = \psi(w_a)$ . Par suite $f(x) = F(w) > F(w_a) = f(a).$ Le cas d'un maximum s'en déduit, comme en (ii), en remplaçant $f$ par $-f$ .

(iv) Si $f$ admettait en $a$ un extremum lié, (ii) imposerait à $Q$ d'être de signe constant sur $T_a\Gamma$ .

□

Remarque

L'erreur la plus répandue est d'examiner la hessienne de $f$ au lieu de celle du lagrangien. Pour $f(x, y) = y$ sur le cercle $x^2 + y^2 = 1$ , au point $a = (0, -1)$ , on trouve $\nabla f(a) = (0, 1)$ et $\nabla g(a) = (0, -2)$ , donc $\lambda = -\frac12$ . La hessienne de $f$ est nulle, et ne dit rien.

Celle du lagrangien $L = y + \frac12(x^2 + y^2 - 1)$ est la matrice identité, définie positive : $a$ est un minimum local lié strict, ce qui est bien le cas, puisque $y \geqslant -1$ sur le cercle. La courbure de la contrainte, portée par le terme $-\lambda\, H_g(a)$ , compte autant que celle de $f$ .

Remarque

La distance d'un point à une parabole montre la condition du second ordre à l'œuvre. Soit $\Gamma$ la parabole $g(x, y) = y - x^2 = 0$ , sur laquelle $\nabla g = (-2x, 1)$ ne s'annule pas, et $f(x, y) = x^2 + (y - \frac32)^2$ , carré de la distance au point $b = (0, \frac32)$ .

Le système $\nabla f = \lambda \nabla g$ s'écrit $2x = -2\lambda x$ et $2y - 3 = \lambda$ . Si $x = 0$ , on trouve le point $(0, 0)$ , avec $\lambda = -3$ ; sinon $\lambda = -1$ , puis $y = 1$ , et les points $(1, 1)$ et $(-1, 1)$ .

En $(\pm 1, 1)$ , le lagrangien $L = f + g$ a pour hessienne $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ ; l'espace tangent est dirigé par $(1, \pm 2)$ , où $Q$ vaut $8 > 0$ : ce sont des minima locaux liés stricts, à distance $\frac{\sqrt 5}{2}$ de $b$ .

En $(0, 0)$ , le lagrangien $L = f + 3g$ a pour hessienne $\begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ , l'espace tangent est l'axe des $x$ , où $Q(1, 0) = -4 < 0$ : c'est un maximum local lié strict de la distance, qui y vaut $\frac32$ , alors que $\nabla f$ et $\nabla g$ y sont colinéaires comme aux deux autres points.

Les cercles de centre

b = (0, \frac32)

, en pointillé gris, sont les lignes de niveau de la distance à

b

. Le cercle bleu, de rayon

\frac{\sqrt 5}{2}

, est tangent à la parabole en

(\pm 1, 1)

, et la parabole reste hors du disque près de ces points : ce sont des minima. Le cercle rouge, de rayon

\frac32

, est tangent à la parabole en

(0, 0)

, mais la parabole entre dans le disque de part et d'autre de l'origine : la distance y est localement maximale. Le point

(0, \frac12)

, marqué d'un petit cercle, est la position critique de

b

sur l'axe : si

b = (0, c)

est au-dessus, l'origine est un maximum local de la distance, au-dessous un minimum, comme l'établit la fin de la remarque.

Le minimum global existe et vaut $\frac{\sqrt 5}{2}$ . En effet, la partie de la parabole contenue dans le disque fermé de centre $b$ et de rayon $\frac32$ est fermée et bornée, donc compacte, et non vide ; la distance à $b$ y atteint son minimum, qui est au plus $\frac{\sqrt 5}{2} < \frac32$ . Il est donc atteint en un point intérieur au disque, qui est un minimum local lié, donc l'un des trois candidats, et ce ne peut être que $(\pm 1, 1)$ . Les points de la parabole hors du disque sont à distance strictement supérieure à $\frac32$ , donc à $\frac{\sqrt 5}{2}$ : ce minimum est bien celui de la distance sur toute la parabole.

Pour un point $b = (0, c)$ quelconque de l'axe, le multiplicateur en $(0, 0)$ vaut $-2c$ , et $Q(h, 0) = (2 - 4c)h^2$ : l'origine est un minimum local lié strict de la distance si $c < \frac12$ et un maximum si $c > \frac12$ . Pour $c = \frac12$ , $Q$ est nulle sur l'espace tangent et le théorème ne conclut pas ; on calcule alors $f(x, x^2) = x^4 + \frac14$ , et l'origine est un minimum strict, que seul le quatrième ordre décèle.

Remarque

Pour $n = 2$ et $p = 1$ , la condition se lit sur un seul déterminant. Notons $\alpha = \partial_1 g(a)$ , $\beta = \partial_2 g(a)$ , non tous deux nuls, et $\ell_{ij} = \partial_i\partial_j L(a)$ . L'espace tangent est la droite dirigée par $w = (-\beta, \alpha)$ . En développant suivant la première ligne, $\begin{aligned} &\det \begin{pmatrix} 0 & \alpha & \beta \\ \alpha & \ell_{11} & \ell_{12} \\ \beta & \ell_{12} & \ell_{22} \end{pmatrix} \\ &\quad = -(\ell_{11}\beta^2 - 2\ell_{12}\alpha\beta + \ell_{22}\alpha^2) = -Q(w). \end{aligned}$

Ainsi $a$ est un minimum local lié strict si ce déterminant, dit hessien bordé, est strictement négatif, et un maximum local lié strict s'il est strictement positif. Pour la parabole ci-dessus, il vaut $-8$ en $(\pm 1, 1)$ et $4$ en $(0, 0)$ .

En général, si $J$ est la matrice de $dg(a)$ et si ses $p$ premières colonnes forment une matrice inversible, on borde $H_L(a)$ par $J$ et ${}^tJ$ , et l'on note $B_j$ le mineur principal dominant d'ordre $j$ de la matrice obtenue.

La forme $Q$ est définie positive sur $T_a\Gamma$ si et seulement si $(-1)^p B_j > 0$ pour $2p + 1 \leqslant j \leqslant n + p$ , et définie négative si et seulement si $(-1)^{j - p} B_j > 0$ pour ces mêmes $j$ .

Ce critère est admis ici : sa démonstration élimine les variables liées puis reprend la récurrence du critère de Sylvester (Critère de Sylvester). On le trouve chez H. B. Mann, « Quadratic forms with linear constraints » (Amer. Math. Monthly 50, n° 7, 1943, p. 430-433), et chez G. Debreu, « Definite and semidefinite quadratic forms » (Econometrica 20, n° 2, 1952, p. 295-300).

Repose sur

Théorème des extrema liés Formes quadratiques et extrema

Sert à

Trois applications des extrema liés