Théorème 1Extrema liés

Théorème des extrema liés

Les notations sont celles du nœud Ensembles de niveau. Soit $f : U \to {\mathbb R}$ . On dit que $f$ admet en $a \in \Gamma$ un maximum local lié, ou maximum local sous la contrainte $g = 0$ , s'il existe $r > 0$ tel que $f(x) \leqslant f(a)$ pour tout $x \in \Gamma$ vérifiant $\|x - a\| < r$ ; c'est un maximum local de la restriction de $f$ à $\Gamma$ .

On définit de même un minimum local lié, avec l'inégalité inverse, et un extremum lié est l'un ou l'autre ; il est strict si l'inégalité est stricte pour $x \neq a$ .

On munit $\mathbb R^n$ de son produit scalaire usuel $\langle x, y \rangle = \sum_i x_i y_i$ (Produit scalaire). Si $f$ est différentiable en $a$ , son gradient est le vecteur $\nabla f(a) = \big(\partial_1 f(a), \dots, \partial_n f(a)\big),$ de sorte que $df(a)h = \langle \nabla f(a), h \rangle$ pour tout $h$ (Différentielle, (ii)).

Le lagrangien associé à $f$ et à la contrainte $g = 0$ est la fonction de $n + p$ variables $\Lambda(x, \mu) = f(x) - \sum_{i=1}^p \mu_i\, g_i(x),$ définie sur $U \times \mathbb R^p$ .

Énoncé

Soit $g : U \to \mathbb R^p$ de classe $C^1$ , $a \in \Gamma$ tel que $dg(a)$ soit surjective, et $f : U \to \mathbb R$ différentiable en $a$ . On suppose que $f$ admet en $a$ un extremum lié.

(i) La différentielle $df(a)$ est nulle sur $T_a\Gamma = \operatorname{Ker} dg(a)$ .

(ii) Multiplicateurs de Lagrange. Les formes linéaires $dg_1(a), \dots, dg_p(a)$ sont linéairement indépendantes, et il existe des réels $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ , uniques, tels que $df(a) = \sum_{i=1}^p \lambda_i\, dg_i(a),$ c'est-à-dire $\nabla f(a) = \sum_i \lambda_i \nabla g_i(a)$ .

Ce sont les multiplicateurs de Lagrange de $f$ en $a$ . Pour $p = 1$ , le gradient $\nabla f(a)$ est colinéaire au vecteur non nul $\nabla g(a)$ .

(iii) Indépendamment de tout extremum, si $f$ est différentiable sur $U$ , le lagrangien $\Lambda$ est différentiable sur $U \times \mathbb R^p$ , et un couple $(b, \mu)$ en est un point critique si et seulement si $g(b) = 0$ et $df(b) = \sum_i \mu_i\, dg_i(b)$ . Sous les hypothèses de (ii), $(a, \lambda)$ est donc un point critique de $\Lambda$ .

Démonstration

(i) Quitte à remplacer $f$ par $-f$ , supposons que $f$ admette en $a$ un maximum local lié, de rayon $r$ . Soit $h \in \operatorname{Ker} dg(a)$ . Par le nœud Ensembles de niveau, (ii), on a $h \in T_a\Gamma$ : il existe une courbe $\gamma : \,]{-\varepsilon}, \varepsilon[ \to \mathbb R^n$ de classe $C^1$ , à valeurs dans $\Gamma$ , telle que $\gamma(0) = a$ et $\gamma'(0) = h$ .

La courbe $\gamma$ est continue en $0$ : il existe $\delta \in \,]0, \varepsilon]$ tel que $\|\gamma(t) - a\| < r$ pour $|t| < \delta$ . Pour ces $t$ , le point $\gamma(t)$ est dans $\Gamma$ , et $\varphi(t) = f(\gamma(t))$ vérifie $\varphi(t) \leqslant f(a) = \varphi(0)$ .

La fonction $\varphi$ admet ainsi en $0$ , qui n'est pas une extrémité de $]{-\delta}, \delta[$ , un maximum local. Elle est dérivable en $0$ , de dérivée $df(a)h$ , par la règle de la chaîne (Différentielle, (ii) et (iv)). Donc $df(a)h = 0$ (Extremum local).

(ii) Indépendance. Supposons $\sum_i \mu_i\, dg_i(a) = 0$ . Comme $dg(a)$ est surjective, il existe $h$ tel que $dg(a)h = (\mu_1, \dots, \mu_p)$ , c'est-à-dire $dg_i(a)h = \mu_i$ pour tout $i$ . Alors $0 = \sum_i \mu_i\, dg_i(a)h = \sum_i \mu_i^2,$ et tous les $\mu_i$ sont nuls. L'unicité des $\lambda_i$ s'en déduit : la différence de deux familles convenables donne une combinaison nulle.

Existence. Soit $y \in \mathbb R^p$ . Il existe $h$ tel que $dg(a)h = y$ , et si $h'$ en est un autre, $h - h'$ appartient à $\operatorname{Ker} dg(a)$ , où $df(a)$ est nulle par (i) : le réel $df(a)h$ ne dépend que de $y$ . On le note $m(y)$ . Aucun choix n'intervient : $m(y)$ est défini comme l'unique réel $t$ pour lequel il existe $h$ tel que $dg(a)h = y$ et $df(a)h = t$ .

L'application $m$ est linéaire : si $dg(a)h = y$ et $dg(a)h' = y'$ , alors $dg(a)(\alpha h + \beta h') = \alpha y + \beta y'$ , donc $m(\alpha y + \beta y') = \alpha\, m(y) + \beta\, m(y')$ . Posons $\lambda_i = m(\delta_i)$ , où $(\delta_i)$ est la base canonique de $\mathbb R^p$ . Pour tout $h \in \mathbb R^n$ , on a $dg(a)h = \sum_i dg_i(a)h\; \delta_i$ , d'où $df(a)h = m\big(dg(a)h\big) = \sum_i \lambda_i\, dg_i(a)h.$

En évaluant cette égalité en $h = e_j$ , et puisque $df(a)e_j = \partial_j f(a)$ (Différentielle, (ii)), on obtient $\partial_j f(a) = \sum_i \lambda_i\, \partial_j g_i(a)$ pour tout $j$ , c'est-à-dire l'égalité des gradients. Pour $p = 1$ , $dg(a)$ est surjective sur $\mathbb R$ , donc non nulle, et $\nabla g(a) \neq 0$ .

(iii) L'ensemble $U \times \mathbb R^p$ est un ouvert de $\mathbb R^{n+p}$ , image réciproque de $U$ par la projection $(x, \mu) \mapsto x$ , qui est continue. L'application $(x, \mu) \mapsto \mu_i\, g_i(x)$ est la composée de $(x, \mu) \mapsto (\mu_i, g_i(x))$ , différentiable comme ses deux composantes, et de la multiplication de $\mathbb R \times \mathbb R$ , bilinéaire. Par la règle de la chaîne (Différentielle, (iii) et (iv)), $\Lambda$ est différentiable en tout $(b, \mu)$ , et $\begin{aligned} d\Lambda(b, \mu)(h, \eta) &= df(b)h - \sum_i \mu_i\, dg_i(b)h \\ &\quad - \sum_i \eta_i\, g_i(b). \end{aligned}$

Cette forme est nulle pour tous $(h, \eta)$ si et seulement si elle l'est en $(0, \delta_i)$ pour tout $i$ , ce qui donne $g(b) = 0$ , et en tout $(h, 0)$ , ce qui donne $df(b) = \sum_i \mu_i\, dg_i(b)$ .

□

Remarque

Pour $f(x, y) = xy$ sur le cercle $\Gamma$ d'équation $g(x, y) = x^2 + y^2 - 2 = 0$ , on a $\nabla g(x, y) = (2x, 2y)$ , non nul sur $\Gamma$ : $g$ est une submersion en tout point de $\Gamma$ . Le système $\nabla f = \lambda \nabla g$ , $g = 0$ s'écrit $y = 2\lambda x$ , $x = 2\lambda y$ , $x^2 + y^2 = 2$ ; il a quatre solutions, $(1, 1)$ et $(-1, -1)$ avec $\lambda = \frac12$ , $(1, -1)$ et $(-1, 1)$ avec $\lambda = -\frac12$ .

Le cercle est fermé et borné, donc compact (L'espace ℝⁿ, (iii)), et la fonction continue $f$ y atteint son maximum et son minimum (Compacts de ℝ, (iii)). Ce sont des extrema liés, qui figurent donc parmi les quatre candidats : le maximum de $xy$ sur le cercle vaut $1$ , atteint en $(1, 1)$ et $(-1, -1)$ , et le minimum vaut $-1$ , atteint en $(1, -1)$ et $(-1, 1)$ .

Les lignes de niveau de

xy

, en rouge où

xy > 0

et en bleu où

xy < 0

, coupent le cercle

x^2 + y^2 = 2

, en noir, sauf les hyperboles

xy = 1

xy = -1

, qui lui sont tangentes aux quatre points extrémaux. En

(1, 1)

, les gradients

\nabla f = (1, 1)

, en rouge, et

\nabla g = (2, 2)

, en noir, sont colinéaires, avec

\lambda = \frac12

. Au point

(7/5, 1/5)

du cercle, la ligne de niveau

xy = 7/25

traverse le cercle, et

\nabla f = (1/5, 7/5)

, en vert, n'est pas colinéaire à

\nabla g = (14/5, 2/5)

; les gradients sont dessinés à l'échelle

\frac12

. En se déplaçant sur le cercle, on y fait croître

f

dans un sens et décroître dans l'autre.

C'est l'intuition du théorème : si $\nabla f(a)$ avait une composante non nulle le long de $T_a\Gamma$ , un petit déplacement sur $\Gamma$ dans cette direction ferait croître $f$ , et un déplacement en sens inverse la ferait décroître.

Remarque

L'erreur la plus répandue est de résoudre le système de Lagrange en oubliant les points de $\Gamma$ où $dg$ n'est pas surjective : ils doivent être examinés à part, car le théorème ne dit rien d'eux. Pour $f(x, y) = x$ sous la contrainte $g(x, y) = x^3 - y^2 = 0$ , le point $(0, 0)$ réalise le minimum de $f$ sur $\Gamma$ , puisque $x^3 = y^2 \geqslant 0$ entraîne $x \geqslant 0$ .

Pourtant le système $\nabla f = \lambda \nabla g$ , $g = 0$ , qui s'écrit $1 = 3\lambda x^2$ , $0 = -2\lambda y$ , $x^3 = y^2$ , n'a aucune solution : la première équation impose $\lambda \neq 0$ , la deuxième $y = 0$ , la troisième $x = 0$ , et la première devient $1 = 0$ . C'est que $\nabla g(0, 0) = (0, 0)$ : à l'origine, où la courbe forme une pointe, $g$ n'est pas une submersion, et $\nabla f(0, 0) = (1, 0)$ n'est multiple d'aucun $\lambda \nabla g(0, 0)$ .

Remarque

Les conditions (i) et (ii) sont nécessaires, non suffisantes : elles désignent des candidats, comme les points critiques au nœud Points critiques. Le nœud suivant donne, au second ordre, de quoi les départager.

Remarque

La méthode est due à Lagrange, qui l'introduit en statique dans la Méchanique analitique (Paris, Veuve Desaint, 1788), dans la partie consacrée à la statique : pour un système soumis à des liaisons, il ajoute à l'équation des vitesses virtuelles les différentielles des équations de condition, multipliées par des coefficients indéterminés, puis égale à zéro le coefficient de chaque différentielle, comme si les variables étaient indépendantes ; il transpose ensuite la méthode aux maxima et minima (P. Bussotti, « On the genesis of the Lagrange multipliers », J. Optim. Theory Appl. 117, 2003, p. 453-459).

Repose sur

Ensemble de niveau d'une submersion et espace tangent

Sert à

Conditions du second ordre pour un extremum lié