Proposition 2Formes quadratiques

Points critiques et conditions nécessaires d'extremum

Soit $U$ un ouvert de ${\mathbb R^n}$ , $f : U \to {\mathbb R}$ et $a \in U$ . Comme en dimension $1$ (Extremum local), $f$ admet un maximum local en $a$ s'il existe $r > 0$ tel que $f(x) \leqslant f(a)$ pour tout $x \in U$ vérifiant $\|x - a\| < r$ , et un minimum local si l'inégalité inverse est vraie ; l'extremum local est strict si l'inégalité est stricte pour $x \neq a$ . Par l'équivalence des normes, ces notions ne dépendent pas de la norme.

Le point $a$ est un point critique de $f$ si $f$ est différentiable en $a$ et si $df(a) = 0$ , c'est-à-dire si toutes les dérivées partielles de $f$ s'annulent en $a$ .

Énoncé

(i) Si $f$ admet un extremum local en $a$ et si $f$ est différentiable en $a$ , alors $a$ est un point critique.

(ii) Si $f$ est de classe $C^2$ et admet un minimum local en $a$ , sa forme hessienne en $a$ est positive. Si $f$ admet un maximum local en $a$ , elle est négative.

Démonstration

(i) Supposons que $f$ admette un maximum local en $a$ , de rayon $r$ pour $\|\cdot\|_\infty$ , et fixons $j$ . L'ensemble des $t$ tels que $a + te_j \in U$ est un ouvert de $\mathbb R$ contenant $0$ , donc contient un intervalle $]{-\rho}, \rho[$ , avec $\rho \leqslant r$ .

Sur cet intervalle, $g(t) = f(a + te_j)$ admet en $0$ , qui n'en est pas une extrémité, un maximum local, et elle y est dérivable, de dérivée $\partial_j f(a)$ (Différentielle, (ii)). Donc $\partial_j f(a) = 0$ (Extremum local). La matrice de $df(a)$ est nulle, et $df(a) = 0$ . Le cas d'un minimum s'en déduit en remplaçant $f$ par $-f$ .

(ii) Par (i), $df(a) = 0$ . Soit $h \neq 0$ . Par la formule de Taylor-Young (Taylor-Young, (ii)), pour $t \neq 0$ assez petit, $\begin{aligned} 0 &\leqslant f(a + th) - f(a) \\ &= t^2 \Big(\tfrac12\, {}^thH_f(a)h + \|h\|^2 \varepsilon(th)\Big). \end{aligned}$ En divisant par $t^2 > 0$ et en faisant tendre $t$ vers $0$ , $\varepsilon(th)$ tend vers $0$ , et le passage à la limite dans les inégalités (Limite en un point, (vi)) donne ${}^thH_f(a)h \geqslant 0$ . Pour un maximum, on applique ce qui précède à $-f$ .

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Remarque

Les réciproques sont fausses. La fonction $f(x, y) = x^2 + y^3$ a un point critique en $(0, 0)$ , où sa hessienne $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ est positive ; pourtant $f(0, y) = y^3$ prend des valeurs strictement négatives arbitrairement près de l'origine, et $f$ n'y a pas d'extremum. Comme en dimension $1$ avec $x^3$ , un point critique n'est qu'un candidat.

Remarque

L'ouverture de $U$ est indispensable, comme l'était, en dimension $1$ , l'hypothèse que $a$ n'est pas une extrémité. Sur le carré fermé $[0, 1]^2$ , la fonction $f(x, y) = x$ atteint son minimum en tout point du côté $x = 0$ , où $\partial_1 f = 1$ .

Repose sur

Formule de Taylor-Young à l'ordre 2 et matrice hessienne Formes positives et définies positives

Sert à

Conditions suffisantes d'extremum et points cols