ChapitreCalcul différentiel

Formes quadratiques et extrema

Une forme quadratique est une application $q(x) = b(x, x)$, où $b$ est une forme bilinéaire, que l'on peut prendre symétrique dès que $2$ est inversible dans le corps de base. Le chapitre en établit d'abord la théorie algébrique sur un tel corps : polarisation, matrice et congruence, rang et noyau, orthogonalité, existence d'une base orthogonale, et réduction de Gauss en une somme de carrés de formes linéaires indépendantes. Quand tout élément du corps est un carré, le rang classe les formes.

Sur ${\mathbb R}$, la loi d'inertie de Sylvester montre que les nombres de carrés positifs et négatifs ne dépendent pas de la réduction : la signature classe les formes quadratiques réelles. Viennent ensuite les formes positives, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, et le critère des mineurs principaux pour reconnaître une matrice définie positive.

Le chapitre est placé dans le calcul différentiel parce que l'algèbre linéaire n'a pas $\mathbb R$ pour ancêtre, et parce que son application justifie la théorie réelle : la formule de Taylor-Young à l'ordre $2$ fait apparaître la forme hessienne d'une fonction de classe $C^2$, dont la signature décide, en un point critique, s'il y a un minimum, un maximum ou un col. Aucune forme du choix n'intervient.