Théorème 3Formes quadratiques

Réduction de Gauss en somme de carrés

On identifie $E$ à ${K^n}$ par une base, et l'on écrit la forme quadratique comme un polynôme homogène de degré $2$ , $q(x) = \sum_{i \leqslant j} c_{ij} x_i x_j$ (Formes quadratiques, (ii)). La réduction de Gauss est l'algorithme suivant.

Premier cas : un terme carré. Si l'un des $c_{ii}$ n'est pas nul, on renumérote les variables pour que $a = c_{11} \neq 0$ . On regroupe les termes qui contiennent $x_1$ : $q = a x_1^2 + x_1 L(x') + q'(x')$ , où $x' = (x_2, \dots, x_n)$ , $L$ est une forme linéaire et $q'$ une forme quadratique en $x'$ . Alors $q = a\Big(x_1 + \frac{L(x')}{2a}\Big)^2 + q_1(x'),$ avec $q_1 = q' - L^2/(4a)$ , et l'on recommence avec $q_1$ , qui ne dépend plus que de $n - 1$ variables.

Second cas : aucun terme carré. Si tous les $c_{ii}$ sont nuls mais que $q$ ne l'est pas, on renumérote pour que $c = c_{12} \neq 0$ , et l'on écrit $q = c\,x_1x_2 + x_1 L_1(x'') + x_2 L_2(x'') + q''(x'')$ , où $x'' = (x_3, \dots, x_n)$ . Alors $q = c\,uv + q_2(x''),$ avec $u = x_1 + L_2/c$ , $v = x_2 + L_1/c$ et $q_2 = q'' - L_1L_2/c$ . Enfin $c\,uv = \frac c4 (u + v)^2 - \frac c4 (u - v)^2,$ et l'on recommence avec $q_2$ , qui ne dépend plus que de $n - 2$ variables.

Arrêt. On s'arrête quand la forme qui reste est nulle, en particulier quand il ne reste aucune variable.

Énoncé

L'algorithme s'arrête après au plus $n$ étapes, et il écrit $q = \sum_{k=1}^r d_k\, \ell_k^2,$ où les $d_k$ sont des scalaires non nuls et les $\ell_k$ des formes linéaires linéairement indépendantes. Par suite $r = \operatorname{rg} q$ . Il existe des bases $(e_i)$ de $E$ telles que $e_k^* = \ell_k$ pour $k \leqslant r$ , et toute base de cette sorte est orthogonale pour $q$ .

Démonstration

Les identités. Dans le premier cas, en développant, $a\Big(x_1 + \frac{L}{2a}\Big)^2 = a x_1^2 + x_1 L + \frac{L^2}{4a}.$ Dans le second, $c\,(x_1 + L_2/c)(x_2 + L_1/c) = c\,x_1x_2 + x_1L_1 + x_2L_2 + L_1L_2/c$ , et $(u + v)^2 - (u - v)^2 = 4uv$ . La division par $2$ et par $4$ est permise, $2$ étant inversible.

Arrêt. Chaque étape fait disparaître une ou deux variables, et elle produit un ou deux carrés de coefficients $a$ , ou $c/4$ et $-c/4$ , qui ne sont pas nuls.

Indépendance. Par récurrence sur $n$ . Dans le premier cas, la forme $\ell_1 = x_1 + L(x')/(2a)$ vaut $1$ en $\delta_1$ , tandis que les formes produites ensuite ne dépendent que de $x'$ et s'annulent en $\delta_1$ . Si $\lambda_1 \ell_1 + \sum_{k \geqslant 2} \lambda_k \ell_k = 0$ , l'évaluation en $\delta_1$ donne $\lambda_1 = 0$ , et l'hypothèse de récurrence, appliquée aux formes en $x'$ , donne les autres $\lambda_k$ nuls.

Dans le second cas, $\ell_1 = u + v$ et $\ell_2 = u - v$ valent $1$ et $1$ en $\delta_1$ , $1$ et $-1$ en $\delta_2$ , et les formes suivantes s'annulent en $\delta_1$ et $\delta_2$ . Une relation $\lambda_1 \ell_1 + \lambda_2 \ell_2 + \sum_{k \geqslant 3} \lambda_k \ell_k = 0$ donne, en ces deux points, $\lambda_1 + \lambda_2 = 0$ et $\lambda_1 - \lambda_2 = 0$ , d'où $2\lambda_1 = 0$ , puis $\lambda_1 = \lambda_2 = 0$ ; on conclut comme dans le premier cas.

Conséquences. Le rang et l'existence d'une telle base sont le point (iii) du nœud Bases orthogonales. Si $(e_i)$ est une base quelconque telle que $e_k^* = \ell_k$ pour $k \leqslant r$ , les coordonnées de $x$ y sont les $e_i^*(x)$ , et $q(x) = \sum_{k \leqslant r} d_k x_k^2$ ; la polarisation donne $b(x, y) = \sum_{k \leqslant r} d_k x_k y_k$ (Formes quadratiques, (i)), dont la matrice est diagonale : la base est orthogonale.

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Remarque

Pour la forme de $\mathbb R^4$ , en les variables $x, y, z, t$ , $\begin{aligned} q &= x^2 + y^2 + z^2 + 2xy \\ &\quad + 2xz + 4yz + 4yt, \end{aligned}$ le premier cas s'applique à $x$ : $x^2 + 2x(y + z) = (x + y + z)^2 - (y + z)^2$ , et il reste $2yz + 4yt$ , qui n'a plus de terme carré.

Le second cas s'applique alors à $y$ et $z$ , avec $c = 2$ , $L_1 = 4t$ , $L_2 = 0$ et $q'' = 0$ : $2yz + 4yt = 2y(z + 2t)$ , avec $u = y$ et $v = z + 2t$ . On obtient $\begin{aligned} q &= (x + y + z)^2 + \tfrac12 (y + z + 2t)^2 \\ &\quad - \tfrac12 (y - z - 2t)^2. \end{aligned}$

Les trois formes sont indépendantes : $q$ est de rang $3$ , et son noyau, intersection de leurs noyaux, est la droite engendrée par $(2, 0, -2, 1)$ . Le calcul a été vérifié en développant ; deux carrés sont affectés d'un coefficient positif et un d'un coefficient négatif, ce que le nœud Loi d'inertie interprétera.

Remarque

Un piège fréquent consiste à écrire $q$ comme une somme de carrés de formes qui ne sont pas indépendantes, puis à en tirer des conclusions. L'identité $2xy = (x + y)^2 - x^2 - y^2$ est juste, mais elle fait apparaître un carré positif et deux négatifs, alors que la réduction de Gauss donne $2xy = \frac12(x + y)^2 - \frac12(x - y)^2$ , un de chaque signe.

Les formes $x + y$ , $x$ et $y$ sont liées, et la première écriture ne dit rien du rang ni des signes : seule une décomposition en formes indépendantes donne une base orthogonale.

Remarque

La réduction n'emploie que des opérations rationnelles sur les coefficients : sur $\mathbb Q$ , elle reste dans $\mathbb Q$ . Les coefficients $d_k$ ne sont pas des valeurs propres, que le théorème spectral obtient au prix d'une compacité (Théorème spectral).

L'Encyclopaedia of Mathematics (article « Lagrange method ») attribue cette méthode de réduction à une somme de carrés à Lagrange, en 1759, sans citer d'ouvrage. Le mémoire que Lagrange publie cette année-là sur les extrema est « Recherches sur la méthode de maximis et minimis » (Miscellanea Taurinensia, t. 1, 1759 ; Œuvres, t. I, p. 3-20). C'est le nom de Gauss qui est resté à la méthode dans l'enseignement français.

Repose sur

Existence de bases orthogonales

Sert à

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