Existence de bases orthogonales

(i) Par récurrence sur $n$, l'énoncé portant sur tous les espaces de dimension $n$ et toutes les formes. Si $n = 0$, la base vide convient ; si $n = 1$, toute base convient.

Soit $n \geqslant 2$. Si $q$ est nulle, $b$ l'est aussi par la polarisation (Formes quadratiques, (i)), et toute base est orthogonale. Sinon, il existe $x$ tel que $q(x) \neq 0$, et $$E = Kx \oplus x^\perp,$$ avec $\dim x^\perp = n - 1$ (Orthogonalité, (iii)).

L'hypothèse de récurrence, appliquée à la restriction de $b$ à $x^\perp$, fournit une base $(e_2, \dots, e_n)$ de $x^\perp$ orthogonale pour $b$. Avec $e_1 = x$, la famille $(e_1, \dots, e_n)$ engendre $E$ et a $n$ éléments : c'est une base (Dimension, (ii)), orthogonale puisque $e_2, \dots, e_n \in x^\perp$.

La forme matricielle vient de ce que les matrices de $b$ dans les différentes bases sont les matrices congruentes à l'une d'elles (Formes quadratiques, (iii)).

(ii) Par bilinéarité, $q(x) = \sum_{i,j} x_i x_j\, b(e_i, e_j) = \sum_i d_i x_i^2$, et $x_i = e_i^*(x)$. La matrice de $b$ est la matrice diagonale $D$ de coefficients $d_i$ ; l'image de $X \mapsto DX$ est engendrée par les $d_i\delta_i$ non nuls, qui sont libres, et le rang de $D$ est leur nombre (Rang, noyau, (ii)).

Le vecteur $x$ est dans le noyau si et seulement si $\varphi_b(x) = 0$, c'est-à-dire, par le point (ii) du même nœud, si $DX = 0$ : si et seulement si $x_i = 0$ pour tout $i$ tel que $d_i \neq 0$.

(iii) Complétons $(\ell_1, \dots, \ell_r)$ en une base $(\ell_1, \dots, \ell_n)$ de $E^*$, qui est de dimension $n$ (Dualité, (i) ; Dimension, (iii)). L'application $L : E \to K^n$, $x \mapsto (\ell_1(x), \dots, \ell_n(x))$, est linéaire.

Elle est injective : si $L(x) = 0$, toute forme linéaire, combinaison des $\ell_i$, s'annule en $x$, et $x = 0$ par l'injectivité de $E \to E^{**}$ (Dualité, (ii)). Elle est donc bijective (Théorème du rang). Posons $e_j = L^{-1}(\delta_j)$ : c'est une base, et $\ell_i(e_j)$ vaut $1$ si $i = j$, $0$ sinon.

Ainsi $\ell_i = e_i^*$ et $x = \sum_j \ell_j(x)\, e_j$, puisque les deux membres ont même image par $L$. Dans cette base, $q(x) = \sum_{k \leqslant r} d_k x_k^2$, et la polarisation donne $b(x, y) = \sum_{k \leqslant r} d_k x_k y_k$ : la matrice est diagonale, de coefficients $d_1, \dots, d_r, 0, \dots, 0$, et (ii) s'applique.