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Théorème 1Formes quadratiques

Orthogonalité relative à une forme bilinéaire symétrique

Soit bb une forme bilinéaire symétrique sur EE, de forme quadratique qq. Deux vecteurs xx et yy sont orthogonaux pour bb si b(x,y)=0b(x, y) = 0. L'orthogonal d'une partie AA de EE est le sous-espace A⊥={x∈E:b(x,a)=0pour tout a∈A};\begin{aligned} A^\perp = \{x \in E :{} &b(x, a) = 0 \\ &\text{pour tout } a \in A\} ; \end{aligned} on note x⊥x^\perp pour {x}⊥\{x\}^\perp.

Un vecteur isotrope est un vecteur x≠0x \neq 0 tel que q(x)=0q(x) = 0 ; avec 00, ils forment le cône isotrope {x:q(x)=0}\{x : q(x) = 0\}. La restriction de bb à un sous-espace FF est la forme bFb_F induite sur F×FF \times F.

Énoncé

(i) Pour tout sous-espace FF, dim⁡F⊥⩾n−dim⁡F\dim F^\perp \geqslant n - \dim F. De plus F∩F⊥F \cap F^\perp est le noyau de bFb_F, et Ker⁡b=E⊥\operatorname{Ker} b = E^\perp est contenu dans F⊥F^\perp.

(ii) Si bb est non dégénérée, alors dim⁡F⊥=n−dim⁡F\dim F^\perp = n - \dim F et (F⊥)⊥=F(F^\perp)^\perp = F pour tout sous-espace FF.

(iii) On a E=F⊕F⊥E = F \oplus F^\perp si et seulement si bFb_F est non dégénérée. En particulier, si q(x)≠0q(x) \neq 0, alors E=Kx⊕x⊥E = Kx \oplus x^\perp, et dim⁡x⊥=n−1\dim x^\perp = n - 1.

Démonstration

(i) Soit ρ:E→F∗\rho : E \to F^* l'application linéaire qui envoie xx sur la restriction à FF de la forme b(x,⋅)b(x, \cdot). Son noyau est F⊥F^\perp, et son image est contenue dans F∗F^*, de dimension dim⁡F\dim F (Dualité, (i)). Le théorème du rang (Théorème du rang) donne dim⁡F⊥=n−rg⁡ρ⩾n−dim⁡F.\dim F^\perp = n - \operatorname{rg} \rho \geqslant n - \dim F.

Un vecteur de F∩F⊥F \cap F^\perp est un x∈Fx \in F tel que b(x,y)=0b(x, y) = 0 pour tout y∈Fy \in F : c'est la définition du noyau de bFb_F. Enfin E⊥=Ker⁡bE^\perp = \operatorname{Ker} b par définition, et un vecteur orthogonal à tout EE l'est à FF.

(ii) Montrons que ρ\rho est surjective. Soit ψ∈F∗\psi \in F^* et (f1,…,fk)(f_1, \dots, f_k) une base de FF, complétée en une base de EE (Dimension, (iii)). La forme Ψ∈E∗\Psi \in E^* qui prolonge ψ\psi et s'annule sur les vecteurs ajoutés existe par la propriété universelle des bases (Familles libres, bases).

Comme bb est non dégénérée, φb\varphi_b est un isomorphisme (Rang, noyau, (iv)), et Ψ=b(x,⋅)\Psi = b(x, \cdot) pour un x∈Ex \in E ; alors ρ(x)=ψ\rho(x) = \psi. Le rang de ρ\rho est donc dim⁡F\dim F, et dim⁡F⊥=n−dim⁡F\dim F^\perp = n - \dim F.

Par symétrie de bb, tout vecteur de FF est orthogonal à F⊥F^\perp, donc F⊂(F⊥)⊥F \subset (F^\perp)^\perp. Ce dernier est de dimension n−(n−dim⁡F)=dim⁡Fn - (n - \dim F) = \dim F, et l'inclusion est une égalité (Dimension, (iii)).

(iii) Si bFb_F est non dégénérée, F∩F⊥={0}F \cap F^\perp = \{0\} par (i), et la somme F+F⊥F + F^\perp est directe (Sommes directes, (i)). Par la formule de Grassmann (Théorème du rang) et par (i), elle est de dimension dim⁡F+dim⁡F⊥⩾n\dim F + \dim F^\perp \geqslant n : c'est EE.

Réciproquement, si E=F⊕F⊥E = F \oplus F^\perp, l'intersection F∩F⊥F \cap F^\perp, qui est le noyau de bFb_F, est nulle. Pour F=KxF = Kx avec x≠0x \neq 0, la matrice de bFb_F dans la base (x)(x) est (q(x))\big(q(x)\big), non dégénérée si et seulement si q(x)≠0q(x) \neq 0 (Rang, noyau, (iv)). La dimension de x⊥x^\perp vient alors de la formule de Grassmann.

□
Remarque

L'erreur la plus répandue, avec les formes quadratiques, est de croire qu'un sous-espace et son orthogonal sont toujours supplémentaires, comme pour un produit scalaire. Pour la forme non dégénérée q(x)=x12−x22q(x) = x_1^2 - x_2^2 de ℝ2\mathbb R^2, de forme polaire b(x,y)=x1y1−x2y2b(x, y) = x_1y_1 - x_2y_2, le vecteur u=(1,1)u = (1, 1) est isotrope, et l'orthogonal de la droite ℝu\mathbb Ru est cette droite elle-même.

x1 x2 v u v⊥ q = 0
Le cône isotrope de x12−x22x_1^2 - x_2^2 est formé des deux diagonales, en rouge. L'orthogonal du vecteur v=(2,1)v = (2, 1), non isotrope, est la droite bleue en pointillé dirigée par (1,2)(1, 2), symétrique de ℝv\mathbb R v par rapport à la diagonale ; elle est supplémentaire de ℝv\mathbb Rv. Le vecteur isotrope u=(1,1)u = (1, 1) est orthogonal à lui-même : la droite ℝu\mathbb Ru est son propre orthogonal.

La formule de dimension de (ii) reste vraie, 1+1=21 + 1 = 2, mais F∩F⊥=FF \cap F^\perp = F : c'est la condition de (iii) qui fait défaut, la restriction de qq à FF étant nulle.

Remarque

Sans non-dégénérescence, le point (ii) tombe. Pour q(x)=x12q(x) = x_1^2 sur K2K^2 et F=Ke1F = K e_1, on trouve F⊥=Ke2F^\perp = K e_2, puis (F⊥)⊥=E(F^\perp)^\perp = E, qui contient strictement FF : le noyau Ke2K e_2 est orthogonal à tout.

Remarque

Pour un produit scalaire réel, aucun vecteur n'est isotrope ; la restriction à tout sous-espace FF est encore non dégénérée, et (iii) donne E=F⊕F⊥E = F \oplus F^\perp pour tout FF. C'est, en dimension finie et sans suite minimisante, la décomposition orthogonale que le théorème de projection établit dans les espaces de Hilbert (Espaces de Hilbert, (iii)).

Repose sur

Rang, noyau et non-dégénérescence

Sert à

Existence de bases orthogonales
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