Théorème 4Formes quadratiques

Classification quand tout élément est un carré

Énoncé

On suppose que tout élément de $K$ est un carré.

(i) Toute forme quadratique de rang $r$ sur $E$ s'écrit, dans une base convenable, $q(x) = x_1^2 + \cdots + x_r^2.$

(ii) Deux formes quadratiques sur des espaces de même dimension sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang. Toute matrice symétrique de rang $r$ est congruente à la matrice diagonale dont les $r$ premiers coefficients valent $1$ et les autres $0$ .

Démonstration

(i) Soit $(e_i)$ une base orthogonale (Bases orthogonales, (i)), numérotée pour que $d_i = q(e_i)$ soit non nul exactement pour $i \leqslant r$ ; ce nombre est le rang, par le point (ii) du même nœud. Pour $i \leqslant r$ , écrivons $d_i = c_i^2$ , avec $c_i \neq 0$ , et posons $e'_i = e_i/c_i$ , puis $e'_i = e_i$ pour $i > r$ .

La base $(e'_i)$ est encore orthogonale, et $q(e'_i) = d_i/c_i^2 = 1$ pour $i \leqslant r$ (Formes quadratiques, (i)). Par le point (ii) de Bases orthogonales, $q(x) = x_1^2 + \cdots + x_r^2$ .

(ii) Deux formes équivalentes ont des matrices congruentes (Formes quadratiques, (iv)), donc le même rang (Rang, noyau, (iii)). Réciproquement, par (i), deux formes de rang $r$ sur des espaces de dimension $n$ ont, dans des bases convenables, la même matrice diagonale, et elles sont équivalentes (Formes quadratiques, (iv)), ${I_n}$ convenant pour $P$ .

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Remarque

Le corps des nombres complexes vérifie l'hypothèse, puisque tout complexe a une racine carrée (Racines carrées) : sur $\mathbb C$ , le rang est le seul invariant des formes quadratiques. Le corps $\mathbb C$ n'est pas un ancêtre de ce chapitre, et c'est la seule raison pour laquelle l'énoncé est formulé sans lui.

Remarque

Sur $\mathbb R$ , l'énoncé est faux : les formes $x_1^2$ et $-x_1^2$ de $\mathbb R$ sont de rang $1$ , mais la première ne prend que des valeurs positives et la seconde que des valeurs négatives, si bien qu'aucun isomorphisme ne les échange. Le rang ne suffit plus ; il faut lui adjoindre la signature, au nœud Loi d'inertie.

Remarque

Sur un corps fini $\mathbb F_p$ , $p$ premier impair, la moitié seulement des éléments non nuls sont des carrés. On montre alors, ce qui n'est pas fait ici, que deux formes non dégénérées de même dimension sont équivalentes si et seulement si les déterminants de leurs matrices diffèrent d'un facteur carré.

Sur $\mathbb Z/3\mathbb Z$ , par exemple, $x_1^2 + x_2^2$ et $x_1^2 - x_2^2$ ont pour déterminants $1$ et $-1$ , et $-1$ n'est pas un carré modulo $3$ . Elles ne sont pas équivalentes : la seconde a le vecteur isotrope $(1, 1)$ , alors que $x_1^2 + x_2^2$ ne s'annule qu'en $0$ , les carrés modulo $3$ étant $0$ et $1$ .

Repose sur

Existence de bases orthogonales

Sert à

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