Théorème 5Formes quadratiques

Loi d'inertie de Sylvester

Dans ce nœud et, sauf mention contraire, dans les suivants, $K = {\mathbb R}$ . Une forme quadratique $q$ sur $E$ est définie positive sur un sous-espace $F$ si $q(x) > 0$ pour tout $x \in F$ non nul, et définie négative sur $F$ si $q(x) < 0$ pour tout $x \in F$ non nul.

Énoncé

Soit $q$ une forme quadratique sur un espace réel $E$ de dimension $n$ , et $(e_1, \dots, e_n)$ une base orthogonale.

(i) Le nombre $s_+$ des indices $i$ tels que $q(e_i) > 0$ est la plus grande dimension d'un sous-espace sur lequel $q$ est définie positive. Le nombre $s_-$ des indices tels que $q(e_i) < 0$ est la plus grande dimension d'un sous-espace sur lequel $q$ est définie négative. En particulier, $s_+$ et $s_-$ ne dépendent pas de la base orthogonale.

(ii) On a $s_+ + s_- = \operatorname{rg} q$ . Le couple $(s_+, s_-)$ est la signature de $q$ .

(iii) Si $q = \sum_{k=1}^r d_k \ell_k^2$ , avec des formes linéaires $\ell_k$ indépendantes et des réels $d_k$ non nuls, alors $s_+$ est le nombre des $d_k$ positifs et $s_-$ celui des $d_k$ négatifs.

Démonstration

(i) Notons $d_i = q(e_i)$ , $F_+$ le sous-espace engendré par les $e_i$ tels que $d_i > 0$ , et $G$ celui qu'engendrent les autres. Pour $x = \sum_i x_i e_i$ , on a $q(x) = \sum_i d_i x_i^2$ (Bases orthogonales, (ii)).

Si $x \in F_+$ n'est pas nul, cette somme ne porte que sur des $d_i > 0$ et l'un des $x_i$ au moins n'est pas nul : $q(x) > 0$ . Ainsi $q$ est définie positive sur $F_+$ , de dimension $s_+$ . Si $x \in G$ , la somme ne porte que sur des $d_i \leqslant 0$ , et $q(x) \leqslant 0$ .

Soit $F$ un sous-espace sur lequel $q$ est définie positive. Un vecteur non nul de $F \cap G$ vérifierait $q(x) > 0$ et $q(x) \leqslant 0$ : donc $F \cap G = \{0\}$ . Par la formule de Grassmann (Théorème du rang), $\dim F + \dim G = \dim(F + G) \leqslant n,$ et $\dim F \leqslant n - (n - s_+) = s_+$ .

Le nombre $s_+$ est donc la plus grande dimension cherchée, qui ne fait intervenir aucune base. Pour $s_-$ , on applique ce qui précède à $-q$ , qui a les mêmes bases orthogonales, et pour laquelle $-q(e_i) > 0$ équivaut à $q(e_i) < 0$ .

(ii) Le rang est le nombre des $d_i$ non nuls (Bases orthogonales, (ii)).

(iii) Par le point (iii) du même nœud, il existe une base orthogonale telle que $q(e_k) = d_k$ pour $k \leqslant r$ et $q(e_k) = 0$ pour $k > r$ , et l'on applique (i).

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Remarque

Seuls les signes sont invariants, non les valeurs : les bases orthogonales du nœud Bases orthogonales donnent, pour $x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2$ , les coefficients $(6, -2)$ et $(1, -3)$ , et la signature $(1, 1)$ dans les deux cas. La réduction de Gauss (Réduction de Gauss) fournit précisément une écriture du type de (iii) : pour la forme de $\mathbb R^4$ réduite à ce nœud, la signature est $(2, 1)$ ; un calcul numérique des valeurs propres de sa matrice donne en effet deux valeurs positives, une négative et $0$ .

C'est la réduction en base orthonormée du théorème spectral (Théorème spectral, (ii)) qui le garantit : une base orthonormée de vecteurs propres est orthogonale pour $q$ , avec $q(e_i) = \lambda_i$ . Ainsi $s_+$ et $s_-$ sont les nombres de valeurs propres strictement positives et strictement négatives d'une matrice symétrique réelle, comptées avec multiplicité.

Remarque

Sylvester énonce le théorème en 1852, sans le démontrer (« this is easily proved »), dans « A demonstration of the theorem that every homogeneous quadratic polynomial is reducible by real orthogonal substitutions to the form of a sum of positive and negative squares » (Philosophical Magazine, 4ᵉ série, vol. 4, n° 23, 1852, p. 138-142) ; il lui donne dès cet article le nom de « Law of Inertia for Quadratic Forms ». La démonstration paraît en 1853, dans les Philosophical Transactions (vol. 143), où il écrit l'avoir « enunciated before » et en publier « for the first time » la preuve. Jacobi l'avait démontré de son côté ; sa preuve, restée inédite, ne parut qu'en 1857, après sa mort (É. Ghys et A. Ranicki, Signatures in algebra, topology and dynamics, 2016, qui rapportent aussi la part d'Hermite).

Remarque

L'argument de dimension de (i) est celui qu'on retrouve dans les caractérisations « min-max » des valeurs propres : on compare un sous-espace où $q$ est positive à un sous-espace où elle ne l'est pas, et la formule de Grassmann les force à se couper.

Repose sur

Existence de bases orthogonales

Sert à

Classification des formes quadratiques réelles Formes positives et définies positives