Classification des formes quadratiques réelles

(i) Soit $(e_i)$ une base orthogonale (Bases orthogonales, (i)), numérotée pour que $d_i = q(e_i)$ soit strictement positif pour $i \leqslant s_+$, strictement négatif pour $s_+ < i \leqslant r$ et nul ensuite (Loi d'inertie). Posons $e'_i = e_i/\sqrt{|d_i|}$ pour $i \leqslant r$, la racine carrée existant par le nœud Espaces métriques, (i), et $e'_i = e_i$ pour $i > r$.

La base $(e'_i)$ est orthogonale, et $q(e'_i) = d_i/|d_i|$ vaut $1$ ou $-1$ selon le signe de $d_i$. Le point (ii) de Bases orthogonales donne la formule.

(ii) Si $u$ est un isomorphisme tel que $q' \circ u = q$, il envoie tout sous-espace sur lequel $q$ est définie positive sur un sous-espace de même dimension sur lequel $q'$ est définie positive, et $u^{-1}$ fait de même en sens inverse. Les plus grandes dimensions sont donc égales, de même pour les sous-espaces où les formes sont définies négatives, et la loi d'inertie (Loi d'inertie, (i)) donne l'égalité des signatures.

Réciproquement, deux formes de même signature ont, par (i), la même matrice dans des bases convenables, et sont équivalentes (Formes quadratiques, (iv)). Les signatures possibles sont les couples d'entiers positifs de somme $r \leqslant n$, et chacun est atteint : la forme $x_1^2 + \cdots + x_{s_+}^2 - x_{s_+ + 1}^2 - \cdots - x_r^2$ de $\mathbb R^n$ a pour signature $(s_+, s_-)$ (Loi d'inertie, (iii)). Il y a $r + 1$ couples pour chaque $r$, et $$\sum_{r=0}^n (r + 1) = \frac{(n + 1)(n + 2)}{2}.$$

(iii) Si $q$ est non dégénérée, $r = n$ (Rang, noyau, (iv)). Dans la base de (i), la matrice $D$ est diagonale de coefficients $\pm 1$, de déterminant $(-1)^{s_-}$. Dans toute autre base, la matrice est ${}^tPDP$, de déterminant $(\det P)^2 (-1)^{s_-}$ (Rang, noyau, (iii)), avec $\det P \neq 0$.