Formes positives et définies positives

(i) Pour tout réel $t$, $$\begin{aligned} 0 &\leqslant q(x + ty) \\ &= q(x) + 2t\,b(x, y) + t^2 q(y). \end{aligned}$$ Si $q(y) > 0$, la valeur $t = -b(x, y)/q(y)$ donne $q(x) - b(x, y)^2/q(y) \geqslant 0$, d'où l'inégalité. Si $q(y) = 0$ et $b(x, y) \neq 0$, la valeur $t = -\big(q(x) + 1\big)/\big(2b(x, y)\big)$ rend le second membre égal à $-1$, ce qui est exclu : donc $b(x, y) = 0$, et l'inégalité est vraie.

(ii) Si $q(x) = 0$, (i) donne $b(x, y)^2 \leqslant 0$, donc $b(x, y) = 0$ pour tout $y$ : $x \in \operatorname{Ker} b$. Inversement, $q(x) = b(x, x) = 0$ pour $x \in \operatorname{Ker} b$. Une forme positive non dégénérée n'a donc pas de vecteur isotrope, et elle est définie positive ; une forme définie positive est positive et n'a pas de vecteur isotrope, a fortiori pas de noyau non nul.

Dans une base orthogonale, $q(x) = \sum_i d_i x_i^2$ (Bases orthogonales, (ii)). Si tous les $d_i$ sont positifs, $q$ l'est ; si $d_i < 0$, $q(e_i) < 0$. Donc $q$ est positive si et seulement si $s_- = 0$, et de même $q(x) > 0$ pour tout $x \neq 0$ si et seulement si tous les $d_i$ sont strictement positifs, c'est-à-dire $s_+ = n$. Enfin $q$ prend une valeur strictement positive si et seulement si $s_+ \geqslant 1$, en $e_i$ avec $d_i > 0$, et une valeur strictement négative si et seulement si $s_- \geqslant 1$.

(iii) Si $q$ est définie positive, $b$ est un produit scalaire, dont la norme associée est $N$. L'énoncé est alors le cas d'égalité de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, point (iii) du nœud Produit scalaire, dont l'inégalité $b(x, y)^2 \leqslant q(x)q(y)$ est le carré, et le point (iv) du même nœud.

(iv) Si $n = 0$, il n'y a que $h = 0$, et tout $c > 0$ convient. Sinon, soit $(e_i)$ une base orthogonale, $d_i = q(e_i) > 0$ par (ii), $d$ le plus petit des $d_i$, et $P$ la matrice dont les colonnes sont les vecteurs $e_i$, inversible puisque ses colonnes forment une base. Si $h = Py$, alors $q(h) = \sum_i d_i y_i^2 \geqslant d\,\|y\|_\infty^2$, le plus grand des $y_i^2$ figurant dans la somme.

D'autre part, $|h_i| = \big|\sum_j p_{ij} y_j\big| \leqslant C\,\|y\|_\infty$, avec $C = \max_i \sum_j |p_{ij}|$, qui est strictement positif puisque $P$ n'est pas nulle. Ainsi $\|h\|_\infty \leqslant C\|y\|_\infty$, et $c = d/C^2$ convient.

(v) La première affirmation est immédiate. Si $q$ est positive, et $(e_i)$ une base orthogonale, la matrice $D$ de $q$ dans cette base est diagonale, de coefficients $d_i \geqslant 0$ par (ii), et de déterminant $\prod_i d_i \geqslant 0$. Dans toute autre base, la matrice est ${}^tPDP$, de déterminant $(\det P)^2 \prod_i d_i$ (Rang, noyau, (iii)), positif, et strictement positif si tous les $d_i$ le sont.