Théorème 5Calcul différentiel

Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre

Énoncé

(i) Schwarz. Si $f : U \to {\mathbb R}$ est de classe $C^2$ sur un ouvert $U$ de ${\mathbb R^n}$ , alors $\partial_i\partial_j f = \partial_j\partial_i f$ pour tous $i, j$ .

(ii) Intégrales à paramètre. Soit $h : [0, 1] \times U \to \mathbb R$ continue. Alors $F(x) = \int_0^1 h(t, x)\,dt$ est continue sur $U$ . Si de plus les dérivées partielles $\partial_{x_j} h$ existent et sont continues sur $[0, 1] \times U$ , $F$ est de classe $C^1$ et $\partial_j F(x) = \int_0^1 \partial_{x_j} h(t, x)\,dt.$ Par récurrence, si $h$ est $C^\infty$ en $x$ avec toutes ses dérivées partielles continues sur $[0, 1] \times U$ , $F$ est $C^\infty$ .

Démonstration

(ii) Continuité. Fixons $x_0 \in U$ et $\varepsilon > 0$ . Les ouverts produits $V \times W$ de $\mathbb R \times U$ sur lesquels $|h(t, x) - h(t', x_0)| < \varepsilon$ pour tous $(t, x) \in V \times W$ et $(t', x_0) \in V \times W$ recouvrent le compact $[0, 1] \times \{x_0\}$ , par continuité de $h$ ; un nombre fini d'entre eux, $V_1 \times W_1, \dots, V_m \times W_m$ , suffit, et l'on pose $W = \bigcap_i W_i$ .

Pour $x \in W$ et $t \in [0, 1]$ , $t$ appartient à un $V_i$ , et $|h(t, x) - h(t, x_0)| < \varepsilon$ . Donc $|F(x) - F(x_0)| \leqslant \varepsilon$ . Aucun choix n'intervient : la famille des ouverts est définie par compréhension, et l'on n'en extrait qu'un nombre fini.

Dérivation. Par l'égalité des accroissements finis (Accroissements finis, (i)), pour $s \neq 0$ petit, $\begin{aligned} &\frac{h(t, x_0 + se_j) - h(t, x_0)}{s} \\ &\quad = \partial_{x_j} h(t, x_0 + c\,s\,e_j) \end{aligned}$ avec $c \in \,]0, 1[$ dépendant de $t$ .

Le même argument de recouvrement, appliqué à $\partial_{x_j} h$ , montre que cette quantité est à moins de $\varepsilon$ de $\partial_{x_j} h(t, x_0)$ dès que $|s|$ est petit, uniformément en $t$ . On intègre, puis on applique la continuité à $\partial_{x_j} h$ et le nœud Classe Cᵏ, (i).

(i) Fixons $a$ , et posons, pour $s$ petit, $\begin{aligned} \Delta(s) &= f(a + se_i + se_j) - f(a + se_i) \\ &\quad - f(a + se_j) + f(a), \end{aligned}$ avec $i \neq j$ .

La fonction $g(u) = f(u + se_j) - f(u)$ donne $\Delta(s) = g(a + se_i) - g(a)$ ; par l'égalité des accroissements finis appliquée deux fois, d'abord à $\tau \mapsto g(a + \tau e_i)$ , puis à $\tau \mapsto \partial_i f(a + c\,s\,e_i + \tau e_j)$ , on obtient $\Delta(s) = s^2\,\partial_j\partial_i f(a + c\,s\,e_i + c'\,s\,e_j)$ pour des $c, c' \in \,]0, 1[$ .

En échangeant les rôles de $i$ et $j$ , $\Delta(s) = s^2\,\partial_i\partial_j f(a + d\,s\,e_i + d'\,s\,e_j)$ . On divise par $s^2$ et l'on fait tendre $s$ vers $0$ : les deux dérivées secondes étant continues en $a$ , elles y sont égales.

Les quatre sommets du carré de côté

s

entrent dans

\Delta(s)

avec les signes indiqués. Chacune des deux applications des accroissements finis fournit un point du carré où la dérivée croisée vaut

\Delta(s)/s^2

: en rouge pour

\partial_j\partial_i f

, en bleu pour

\partial_i\partial_j f

. Ils sont placés ici pour

f(x, y) = xy(x - y)^2 + xy

a = 0

s = 1

(ces points ne sont pas uniques, on en a retenu un), et ils tendent tous deux vers

a

avec

s

□

Remarque

L'hypothèse de continuité des dérivées secondes ne peut pas être omise. La fonction $f(x, y) = xy\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2},$ prolongée par $0$ en l'origine, a des dérivées secondes croisées en $(0, 0)$ qui valent $-1$ et $1$ : on calcule $\partial_x f(0, y) = -y$ et $\partial_y f(x, 0) = x$ . Le théorème de Schwarz est ce qui donnera $d \circ d = 0$ au nœud Formes différentielles.

Remarque

Le théorème de Schwarz rend symétrique la matrice des dérivées secondes, ce qu'on appellera la matrice hessienne. Toute matrice carrée définit une forme quadratique ; c'est la symétrie qui fait de la hessienne la matrice de sa forme polaire, et permet de lire sur ses coefficients la forme dont le signe décide des extrema, au chapitre Formes quadratiques.

Repose sur

Fonctions de classe Cᵏ

Sert à

Formes quadratiques et extrema