Théorème 5Géométrie différentielle

Formes différentielles et différentielle extérieure

Soit $U$ un ouvert de ${\mathbb R^n}$ . Une forme différentielle de degré $k$ sur $U$ est une application $\omega$ qui associe à chaque $x \in U$ une forme $\omega_x \in {\Lambda^k}(\mathbb R^n)$ (Algèbre extérieure), de la forme $\omega = \sum_I a_I\, dx_I$ avec des coefficients $a_I$ de classe $C^\infty$ , où $dx_I = dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k}$ et $dx_i$ désigne la $i$ -ième forme coordonnée.

Pour une fonction $f$ , de degré $0$ , $df = \sum_j \partial_j f\, dx_j$ est sa différentielle. La différentielle extérieure est $d\Big(\sum_I a_I\, dx_I\Big) = \sum_I da_I \wedge dx_I.$ Pour $\varphi : V \to U$ de classe $C^\infty$ , où $V$ est un ouvert de $\mathbb R^m$ , l'image réciproque est $(\varphi^*\omega)_y = d\varphi(y)^*\,\omega_{\varphi(y)}$ .

Une forme $\omega$ de degré $k$ est fermée si $d\omega = 0$ ; pour $k \geqslant 1$ , elle est exacte s'il existe une forme $\eta$ de degré $k - 1$ telle que $\omega = d\eta$ . Par le point (ii), une forme exacte est fermée.

Énoncé

(i) $d$ est linéaire, et $d(\omega \wedge \eta) = d\omega \wedge \eta + (-1)^k \omega \wedge d\eta$ pour $\omega$ de degré $k$ .

(ii) $d \circ d = 0$ .

(iii) $\varphi^*(\omega \wedge \eta) = \varphi^*\omega \wedge \varphi^*\eta$ , $(\psi \circ \varphi)^* = \varphi^* \circ \psi^*$ , et $\varphi^* \circ d = d \circ \varphi^*$ .

Démonstration

(i) Par linéarité, il suffit de traiter $\omega = a\,dx_I$ et $\eta = b\,dx_J$ . Alors $\omega \wedge \eta = ab\,dx_I \wedge dx_J$ , et, $dx_I \wedge dx_J$ étant $\pm dx_{I \cup J}$ ou nul, $\begin{aligned} d(\omega \wedge \eta) &= d(ab) \wedge dx_I \wedge dx_J \\ &= (b\,da + a\,db) \wedge dx_I \wedge dx_J. \end{aligned}$ Le premier terme est $d\omega \wedge \eta$ ; dans le second, faire passer la forme $db$ , de degré $1$ , devant $dx_I$ , de degré $k$ , coûte le signe $(-1)^k$ (Algèbre extérieure, (ii)).

(ii) Pour une fonction, $\begin{aligned} d(df) &= \sum_{i, j} \partial_i\partial_j f\, dx_i \wedge dx_j \\ &= \sum_{i < j} (\partial_i\partial_j f - \partial_j\partial_i f)\, dx_i \wedge dx_j \\ &= 0 \end{aligned}$ par le théorème de Schwarz (Schwarz, intégrales à paramètre).

En particulier $d(dx_i) = 0$ , puis $d(dx_I) = 0$ par (i), et $\begin{aligned} &d(d(a\,dx_I)) = d(da \wedge dx_I) \\ &\quad = d(da) \wedge dx_I - da \wedge d(dx_I) = 0. \end{aligned}$

(iii) La première égalité vient de Algèbre extérieure, (iii), point par point, et la deuxième de la règle de la chaîne. Pour une fonction, $\varphi^*f = f \circ \varphi$ et $d(f \circ \varphi) = df \circ d\varphi = \varphi^*(df)$ ; en particulier $\varphi^*(dx_i) = d\varphi_i$ .

Pour $\omega = a\,dx_I$ , $\varphi^*\omega = (a \circ \varphi)\, d\varphi_{i_1} \wedge \cdots \wedge d\varphi_{i_k}$ , dont la différentielle est, par (i) et (ii), $\begin{aligned} d(a \circ \varphi) \wedge d\varphi_{i_1} \wedge \cdots &= \varphi^*(da) \wedge \varphi^*(dx_I) \\ &= \varphi^*(d\omega). \end{aligned}$

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Remarque

Dans $\mathbb R^3$ , en identifiant les $1$ -formes et les $2$ -formes à des champs de vecteurs, $d$ sur les fonctions est le gradient, $d$ sur les $1$ -formes le rotationnel, $d$ sur les $2$ -formes la divergence. Les identités $\operatorname{rot}\operatorname{grad} = 0$ et $\operatorname{div}\operatorname{rot} = 0$ de la physique sont deux cas de $d \circ d = 0$ .

Remarque

L'égalité $\varphi^* \circ d = d \circ \varphi^*$ dit que $d$ ne dépend pas des coordonnées. C'est elle qui permet de transporter les formes différentielles sur les variétés, au nœud Formes sur une variété.

Repose sur

Calcul différentiel Algèbre linéaire

Sert à

Formes différentielles sur une variété, formes volume Intégrale d'une forme de degré 1 le long d'un chemin Lemme de Poincaré