Formes différentielles sur une variété, formes volume

(i) Il suffit de vérifier la compatibilité, c'est-à-dire que $\tau^*$ commute au produit et à $d$ : c'est le nœud Formes différentielles, (iii). Pour $f$ lisse, on pose $(f^*\omega)_\varphi = (\psi \circ f \circ \varphi^{-1})^*\omega_\psi$ sur l'ouvert $\varphi(U \cap f^{-1}(V))$, pour chaque carte $(V, \psi)$ de $N$. Ces ouverts recouvrent $\varphi(U)$, puisque les domaines des cartes de $N$ recouvrent $N$, et les morceaux se recollent : sur l'intersection de deux d'entre eux, avec $\sigma = \psi' \circ \psi^{-1}$, on a $(\psi' \circ f \circ \varphi^{-1})^*\omega_{\psi'} = (\psi \circ f \circ \varphi^{-1})^*\sigma^*\omega_{\psi'} = (\psi \circ f \circ \varphi^{-1})^*\omega_\psi$, par Formes différentielles, (iii), et la compatibilité de $\omega$. Les mêmes formules montrent la compatibilité de $f^*\omega$ et ses propriétés.

(ii) $\tau^*(dz_1 \wedge \cdots \wedge dz_n) = \det d\tau \cdot dz_1 \wedge \cdots \wedge dz_n$, par Algèbre extérieure, (iii).

(iii) Pour chaque carte $(U, \varphi)$, la fonction $a_\varphi$ est continue et ne s'annule pas ; les ensembles $U^+ = \varphi^{-1}(\{a_\varphi > 0\})$ et $U^- = \varphi^{-1}(\{a_\varphi < 0\})$ sont ouverts.

Les cartes $(U^+, \varphi)$ et $(U^-, \rho \circ \varphi)$ (Orientation, (ii)), pour toutes les cartes de $M$, forment un atlas dans lequel tous les coefficients $a$ sont positifs ; par (ii), tous les changements de carte ont un jacobien de déterminant positif.