Fonctions plateau et partitions de l'unité sur une variété ⋆

(i) Lissité. La continuité de $f$ découle de celle des restrictions : si $W$ est un ouvert de $\mathbb R^q$, $f^{-1}(W)$ est la réunion des $(f|_{O_\beta})^{-1}(W)$, ouverts de $O_\beta$, donc de $M$. Soit $(V, \psi)$ une carte de $M$. Pour chaque $\beta$, la restriction de $\psi$ à $V \cap O_\beta$ est une carte de la variété $O_\beta$ (Applications lisses, (iii)) ; comme il suffit de lire $f|_{O_\beta}$ dans cette carte et dans la carte $\mathrm{id}$ de $\mathbb R^q$ (même nœud, (i)), $f \circ \psi^{-1}$ est de classe $C^\infty$ sur chacun des ouverts $\psi(V \cap O_\beta)$, qui recouvrent $\psi(V)$.

Il reste à voir qu'une application $h : O \to \mathbb R^q$, définie sur un ouvert $O$ de $\mathbb R^n$, dont les restrictions aux ouverts $O'_\beta$ d'un recouvrement de $O$ sont de classe $C^k$, est de classe $C^k$. Raisonnons par récurrence sur $k$, pour tous les $q$ à la fois. Pour $k = 0$, la continuité en un point ne dépend que des valeurs au voisinage de ce point. Si les restrictions sont de classe $C^{k+1}$ et si $a \in O'_\beta$, la définition de la différentiabilité en $a$ (Différentielle) ne fait intervenir $h(a + v)$ que pour $v$ petit : $h$ est différentiable en $a$, avec $dh(a) = d(h|_{O'_\beta})(a)$. Ainsi la restriction de $dh$ à $O'_\beta$, vue à valeurs dans $\mathbb R^{qn}$, est $d(h|_{O'_\beta})$, de classe $C^k$ ; par hypothèse de récurrence, $dh$ est de classe $C^k$ sur $O$, et $h$ est de classe $C^{k+1}$ (Classe Cᵏ).

Sommes. Soit $\mathcal W$ l'ensemble des ouverts de $M$ qui ne rencontrent qu'un nombre fini des parties $\{f_t \neq 0\}$ ; par hypothèse, ils recouvrent $M$, puisque tout voisinage d'un point contient un ouvert contenant ce point. En chaque point, la somme n'a qu'un nombre fini de termes non nuls, et elle a donc un sens ; sur chaque $W \in \mathcal W$, elle est la somme finie des $f_t$ pour lesquels $\{f_t \neq 0\}$ rencontre $W$, lisse puisque $C^\infty(W)$ est un anneau (Applications lisses, (iii)). Le premier point, appliqué à la famille $\mathcal W$, conclut : aucun ouvert n'est choisi point par point.

Adhérences. Chaque $\overline{A_t}$ est contenue dans l'adhérence de la réunion. Réciproquement, soit $p$ un point de $\overline{\bigcup_t A_t}$ et $W$ un ouvert contenant $p$ qui ne rencontre que $A_{t_1}, \dots, A_{t_m}$. Si $p$ n'était dans aucun des $\overline{A_{t_i}}$, l'ouvert $W \setminus \big(\overline{A_{t_1}} \cup \cdots \cup \overline{A_{t_m}}\big)$ contiendrait $p$ sans rencontrer aucun $A_t$, ce qui contredirait $p \in \overline{\bigcup_t A_t}$ (Intérieur, adhérence, (iii)).

(ii) La fonction $\theta$ a des dérivées successives de tout ordre sur $\mathbb R$ (Fonction plate en 0, (ii)). Elle est donc de classe $C^k$ au sens du nœud Classe Cᵏ pour tout $k$, par récurrence sur $k$ appliquée à toutes les fonctions qui ont cette propriété : $d\theta(x)(h) = h\,\theta'(x)$ (Différentielle, (ii)), et $\theta'$ a encore des dérivées successives de tout ordre. Pour chaque $l$, la fonction $y \mapsto r^2 - (y_l - c_l)^2$ est polynomiale, donc de classe $C^\infty$ ; sa composée avec $\theta$ l'est aussi, ainsi que le produit des $n$ facteurs (Classe Cᵏ, (iii)). Chaque facteur est positif, et strictement positif si et seulement si $|y_l - c_l| < r$ (Fonction plate en 0, (i)) : le produit est strictement positif si et seulement si $\|y - c\|_\infty < r$, et nul sinon.

Posons $g = g_{\varphi,c,r}$ et $L = \varphi^{-1}(C(c, r))$. Le cube $C(c, r)$ est fermé et borné, donc compact (L'espace ℝⁿ, (iii)), et $\varphi^{-1}$ est continue : $L$ est compact (Compacts, fermés et images, (iii)), donc fermé dans $M$, qui est séparé (même nœud, (ii)). Par ce qui précède, $\{g \neq 0\} = \varphi^{-1}(B_\infty(c, r))$, partie du fermé $L$ ; son adhérence est donc contenue dans $L$, et elle est compacte comme partie fermée d'un compact (Compacts, fermés et images, (i)).

Sur l'ouvert $U$, $g = \psi_{c,r} \circ \varphi$ est lisse, comme composée de la carte $\varphi$, difféomorphisme de $U$ sur $\varphi(U)$, et de $\psi_{c,r}$, lisse sur $\mathbb R^n$ (Applications lisses, (ii) à (iv)). Sur l'ouvert $M \setminus L$, $g$ est nulle. Ces deux ouverts recouvrent $M$, puisque $L \subset U$ : $g$ est lisse par (i). Enfin $g$ est positive, nulle hors du compact $L$, et $g(\varphi^{-1}(c)) = \theta(r^2)^n > 0$.

(iii) Si $K$ est vide, $F = \varnothing$ convient. Sinon, soit $\mathcal G$ l'ensemble des couples $(g, \alpha)$ formés d'un indice $\alpha \in A$ et d'une fonction $g = g_{\varphi,c,r}$, pour une carte $(U, \varphi)$ et un cube $C(c, r)$ contenu dans $\varphi(U \cap U_\alpha)$. Soit $p \in K$ : il appartient à l'un des $U_\alpha$, et au domaine d'une carte $(U, \varphi)$. L'ensemble $\varphi(U \cap U_\alpha)$ est un ouvert de $\mathbb R^n$ qui contient $\varphi(p)$ ; il contient une boule $B_\infty(\varphi(p), \varepsilon)$ (L'espace ℝⁿ, (i)), donc le cube $C(\varphi(p), \varepsilon/2)$, et $g = g_{\varphi, \varphi(p), \varepsilon/2}$ vérifie $g(p) > 0$, avec $(g, \alpha) \in \mathcal G$. Les ouverts $\{g > 0\}$, pour $(g, \alpha) \in \mathcal G$, recouvrent donc $K$.

Le compact $K$ est recouvert par un nombre fini d'entre eux, $\{g_1 > 0\}, \dots, \{g_m > 0\}$, avec $(g_j, \alpha_j) \in \mathcal G$. La fonction $S = g_1 + \cdots + g_m$ est lisse, positive, et strictement positive sur $K$. Les ouverts $\{S > 1/k\}$, $k \geqslant 1$, croissent avec $k$ et recouvrent $K$ : un nombre fini d'entre eux suffit, et $K \subset \{S > 1/k\}$ pour un entier $k$, que l'on prend le plus petit possible (Bon ordre sur ℕ). Posons $\varepsilon = 1/k$ et $$D = S + \theta(\varepsilon - S).$$ $D$ est lisse, comme composée de $S$ avec une fonction de classe $C^\infty$ sur $\mathbb R$, et strictement positive : là où $S \geqslant \varepsilon$, $D \geqslant \varepsilon$ ; là où $S < \varepsilon$, $\theta(\varepsilon - S) > 0$ et $S \geqslant 0$. La fonction $t \mapsto 1/t$ est de classe $C^\infty$ sur $]0, +\infty[$ : elle est dérivable, de dérivée $-1/t^2$ (Opérations, (iii)), et si elle est de classe $C^k$, sa dérivée $-\frac1t \cdot \frac1t$ l'est aussi, comme produit. Ainsi $1/D$ est lisse.

Soit $F = \{\alpha_1, \dots, \alpha_m\}$ et, pour $\alpha \in F$, $\chi_\alpha = \frac1D \sum_{j : \alpha_j = \alpha} g_j$. Ces fonctions sont lisses et positives, et $\{\chi_\alpha \neq 0\}$ est la réunion des $\{g_j \neq 0\}$ pour $\alpha_j = \alpha$, les $g_j$ étant positives. Son adhérence est la réunion finie des $\overline{\{g_j \neq 0\}}$, compacts contenus dans $U_\alpha$ par (ii) ; elle est compacte, car d'un recouvrement ouvert d'une réunion finie de compacts on extrait un recouvrement fini de chacun d'eux, et séparée comme partie de $M$. Enfin $\sum_{\alpha \in F} \chi_\alpha = S/D \leqslant 1$, avec égalité sur l'ouvert $\{S > \varepsilon\}$, qui contient $K$, puisque $\theta(\varepsilon - S)$ y est nulle.

Les seuls choix sont ceux des $m$ couples $(g_j, \alpha_j)$ : un nombre fini de choix, que l'on fait l'un après l'autre, sans axiome du choix. Si $M$ est compacte, on prend $K = M$ : la somme vaut $1$ sur $M$, et la famille des $\{\chi_\alpha \neq 0\}$, dont un nombre fini seulement ne sont pas vides, est localement finie.

(iv) Si $M$ est vide, on prend $K_j = \varnothing$. Sinon, soit $(B_k)_{k \in J_0}$, avec $J_0 \subset \mathbb N$, une base de $M$. Pour $i \in \mathbb N$, posons $O_i = B_i$ si $i \in J_0$ et si $\overline{B_i}$ est compact, et $O_i = \varnothing$ sinon : chaque $O_i$ est un ouvert d'adhérence compacte.

Les $O_i$ recouvrent $M$. Soit en effet $p \in M$, $(U, \varphi)$ une carte en $p$ et $r > 0$ tel que $C(\varphi(p), r) \subset \varphi(U)$ ; comme en (ii), $L = \varphi^{-1}(C(\varphi(p), r))$ est un compact fermé dans $M$, et il contient l'ouvert $\varphi^{-1}(B_\infty(\varphi(p), r))$, qui contient $p$. Un ouvert $B_i$ de la base vérifie $p \in B_i \subset L$ ; son adhérence, contenue dans le fermé $L$, est compacte (Compacts, fermés et images, (i)), et $O_i = B_i$.

Pour une partie compacte $K$ de $M$, recouverte par les $O_i$, donc par $O_0 \cup \cdots \cup O_m$ pour un entier $m$, notons $m(K)$ le plus petit tel entier. On définit $K_j$ par récurrence (Définition par récurrence), en appliquant ce théorème à la suite des couples $(j, K_j)$, de premier terme $(0, \varnothing)$, avec $$\begin{aligned} g(j, K) = \Big(&j + 1, \\ &\overline{O_0} \cup \cdots \cup \overline{O_{\max(m(K), j)}}\Big), \end{aligned}$$ défini pour $K$ compact. Ainsi, avec $m_j = m(K_j)$, $$K_{j+1} = \overline{O_0} \cup \cdots \cup \overline{O_{\max(m_j, j)}}.$$ C'est un compact, réunion finie de compacts, et l'ouvert $O_0 \cup \cdots \cup O_{m_j}$, qui contient $K_j$, est contenu dans $K_{j+1}$ : $K_j \subset \mathring K_{j+1}$. Enfin $O_j \subset K_{j+1}$, d'où $\bigcup_j K_j = M$.

(v) On peut supposer $M$ non vide. Soit $(K_j)$ la suite de (iv), complétée par $K_{-1} = K_{-2} = \varnothing$ ; elle est croissante, puisque $K_j \subset \mathring K_{j+1} \subset K_{j+1}$. Posons $$L_j = K_j \setminus \mathring K_{j-1}, \qquad W_j = \mathring K_{j+1} \setminus K_{j-2}.$$ $L_j$ est fermé dans le compact $K_j$, donc compact ; $W_j$ est ouvert, $K_{j-2}$ étant compact, donc fermé ; et $L_j \subset W_j$, car $L_j \subset K_j \subset \mathring K_{j+1}$ et $K_{j-2} \subset \mathring K_{j-1}$. Tout point $p$ est dans l'un des $L_j$ : pour le plus petit $j$ tel que $p \in K_j$, on a $p \notin K_{j-1}$.

Fixons une bijection $s \mapsto (m_s, c_s, r_s)$ de $\mathbb N$ sur ${\mathbb Q} \times \mathbb Q^n \times \mathbb Q$ (ℚ est dénombrable, (ii)). Disons que $s$ est admissible pour $j$ si $m_s \in J$, $r_s > 0$ et $C(c_s, r_s) \subset \varphi_{m_s}(U_{m_s} \cap W_j \cap V_\alpha)$ pour au moins un $\alpha \in A$ ; on note alors $g_s = g_{\varphi_{m_s}, c_s, r_s}$, qui ne dépend que de $s$.

Les ouverts $\{g_s > 0\}$, $s$ admissible pour $j$, recouvrent $L_j$. Soit en effet $p \in L_j$, $m \in J$ tel que $p \in U_m$ et $\alpha$ tel que $p \in V_\alpha$. L'ouvert $\varphi_m(U_m \cap W_j \cap V_\alpha)$ contient une boule $B_\infty(\varphi_m(p), \varepsilon)$. Par densité de $\mathbb Q$ (Archimède, densité de ℚ), il existe un rationnel $r \in \,]0, \varepsilon/2[$ et un $c \in \mathbb Q^n$ tel que $\|c - \varphi_m(p)\|_\infty < r$. Alors $\varphi_m(p) \in B_\infty(c, r)$ et, pour $y \in C(c, r)$, $\|y - \varphi_m(p)\|_\infty < 2r < \varepsilon$ : le rang $s$ de $(m, c, r)$ est admissible pour $j$, et $g_s(p) > 0$.

Par compacité, $L_j$ est recouvert par les $\{g_s > 0\}$, $s$ admissible pour $j$ et $s \leqslant N$, pour un entier $N$ ; soit $N_j$ le plus petit. On pose $T = \{(j, s) : s \text{ admissible pour } j,\ s \leqslant N_j\}$ et, pour $t = (j, s) \in T$, $g_t = g_s$ et $m(t) = m_s$.

La famille des $\{g_t \neq 0\}$ est localement finie. Pour $t = (j, s)$, $\{g_t \neq 0\} \subset W_j$ par (ii). Un point $p$ appartient à un $K_i$, donc à l'ouvert $\mathring K_{i+1}$, qui ne rencontre aucun $W_j$ pour $j \geqslant i + 3$, puisque $\mathring K_{i+1} \subset K_{j-2}$ ; il ne reste que les indices $(j, s)$ avec $j \leqslant i + 2$ et $s \leqslant N_j$, en nombre fini.

Par (i), $S = \sum_{t \in T} g_t$ est lisse ; elle est strictement positive, puisque tout point est dans un $L_j$, où l'un des $g_s$, $s \leqslant N_j$, est strictement positif. Les fonctions $\chi_t = g_t/S$ sont lisses et positives, la famille des $\{\chi_t \neq 0\} = \{g_t \neq 0\}$ est localement finie, et $\sum_t \chi_t = 1$. Par (ii), $\overline{\{\chi_t \neq 0\}}$ est un compact contenu dans $\varphi_{m_s}^{-1}(C(c_s, r_s))$, donc dans $U_{m(t)} \cap V_\alpha$ pour un $\alpha$.

Si $A \subset \mathbb N$, soit $\alpha(t)$, pour $t = (j, s) \in T$, le plus petit $\alpha$ tel que $C(c_s, r_s) \subset \varphi_{m_s}(U_{m_s} \cap W_j \cap V_\alpha)$, et $\chi'_\alpha = \sum_{\alpha(t) = \alpha} \chi_t$. Par (i), $\chi'_\alpha$ est lisse, et $\overline{\{\chi'_\alpha \neq 0\}}$, réunion des adhérences d'une famille localement finie, est contenue dans $V_\alpha$. Un ouvert qui ne rencontre qu'un nombre fini des $\{\chi_t \neq 0\}$ ne rencontre $\{\chi'_\alpha \neq 0\}$ que pour un nombre fini de $\alpha$, et $\sum_\alpha \chi'_\alpha = \sum_t \chi_t = 1$.

(vi) Soit $(B_k)_{k \in J_0}$, $J_0 \subset \mathbb N$, une base de $M$, et $J$ l'ensemble des $k \in J_0$ tels que $B_k$ soit contenu dans le domaine d'une carte. Les $B_k$, $k \in J$, recouvrent $M$, puisque tout point appartient au domaine d'une carte, ouvert qui contient un $B_k$ contenant ce point. ⋆ Choisissons, pour chaque $k \in J$, une carte $(U_k, \varphi_k)$ telle que $B_k \subset U_k$ : c'est un choix dénombrable. Le point (v) fournit alors une partition de l'unité $(\chi_t)_{t \in T}$, avec $T \subset \mathbb N \times \mathbb N$, dont chaque $\overline{\{\chi_t \neq 0\}}$ est contenu dans l'un au moins des $V_\alpha$. ⋆ Choisissons, pour chaque $t \in T$, un tel indice $\alpha(t)$, ce qui est encore un choix dénombrable, et posons $\chi'_\alpha = \sum_{\alpha(t) = \alpha} \chi_t$. La fin de la démonstration de (v) montre que $(\chi'_\alpha)_{\alpha \in A}$ est une partition de l'unité subordonnée à $(V_\alpha)$.