Variétés orientées et formes volume ⋆

(i) Les cartes de $\mathcal A$ sont dans $\mathcal A^+$, puisque $\mathcal A$ est orienté ; les domaines des cartes de $\mathcal A^+$ recouvrent donc $M$. Soient $(U, \varphi)$ et $(U', \varphi')$ dans $\mathcal A^+$ et $p \in U \cap U'$ ; prenons une carte $(V, \psi)$ de $\mathcal A$ en $p$, ce qui ne porte que sur un point et n'est pas un usage du choix. Sur l'ouvert $\varphi(U \cap U' \cap V)$, qui contient $\varphi(p)$, $$\varphi' \circ \varphi^{-1} = (\varphi' \circ \psi^{-1}) \circ (\psi \circ \varphi^{-1}).$$ La différentielle de $\varphi' \circ \psi^{-1}$ en $\psi(q)$ est l'inverse de celle de $\psi \circ \varphi'^{-1}$ en $\varphi'(q)$, par la règle de la chaîne ; son déterminant est donc positif, comme celui de $d(\psi \circ \varphi^{-1})$, et le déterminant d'un produit est le produit des déterminants (Déterminant d'une matrice, (ii)). Ainsi $\det d(\varphi' \circ \varphi^{-1}) > 0$ au voisinage de chaque point de $\varphi(U \cap U')$ : $\mathcal A^+$ est un atlas orienté, qui contient $\mathcal A$.

Tout atlas orienté $\mathcal B$ qui contient $\mathcal A$ est contenu dans $\mathcal A^+$, par définition de $\mathcal A^+$. En particulier $\mathcal A^+$ est maximal, et toute orientation $\mathcal O \supset \mathcal A$ vérifie $\mathcal O \subset \mathcal A^+$, donc $\mathcal O = \mathcal A^+$ par maximalité de $\mathcal O$. Si $\mathcal A \cup \mathcal A'$ est un atlas orienté, son orientation contient $\mathcal A$ et $\mathcal A'$ et égale donc $\mathcal A^+$ et $\mathcal A'^+$ ; réciproquement, si $\mathcal A^+ = \mathcal A'^+$, la réunion $\mathcal A \cup \mathcal A'$ est contenue dans cet atlas orienté, et elle est orientée.

Pour $\bar{\mathcal O}$, les changements de carte sont $(\rho \circ \varphi') \circ (\rho \circ \varphi)^{-1} = \rho \circ (\varphi' \circ \varphi^{-1}) \circ \rho$, de déterminant $(-1)^2 \det d(\varphi' \circ \varphi^{-1}) > 0$ : $\bar{\mathcal O}$ est un atlas orienté. Si une carte $\chi$ a des changements de carte de jacobien positif avec toutes les cartes de $\bar{\mathcal O}$, la carte $\rho \circ \chi$ en a avec toutes celles de $\mathcal O$, donc appartient à $\mathcal O$, et $\chi = \rho \circ (\rho \circ \chi) \in \bar{\mathcal O}$ : $\bar{\mathcal O}$ est maximal. Enfin, pour $(U, \varphi) \in \mathcal O$ avec $U \neq \varnothing$, le changement de carte de $\varphi$ à $\rho \circ \varphi$ est $\rho$, de déterminant $-1$ : $\rho \circ \varphi \notin \mathcal O$, et $\bar{\mathcal O} \neq \mathcal O$.

(ii) Soit $\mathcal P$ l'ensemble des cartes $(U, \varphi)$ telles que $a_\varphi > 0$ sur $\varphi(U)$. La démonstration du nœud Formes sur une variété, (iii), montre que les domaines des cartes de $\mathcal P$ recouvrent $M$. Pour deux cartes de $\mathcal P$, la relation $a_\varphi = (a_\psi \circ \tau) \det d\tau$ du même nœud, (ii), donne $\det d\tau = a_\varphi/(a_\psi \circ \tau) > 0$ : $\mathcal P$ est un atlas orienté. Si une carte $(V, \chi)$ a des changements de carte de jacobien positif avec toutes les cartes de $\mathcal P$, alors, au voisinage de chaque point de $\chi(V)$, $a_\chi = (a_\varphi \circ \tau) \det d\tau > 0$ pour une carte $(U, \varphi)$ de $\mathcal P$ et $\tau = \varphi \circ \chi^{-1}$ : $\chi \in \mathcal P$. Ainsi $\mathcal P$ est maximal ; c'est une orientation $\mathcal O_\omega$, pour laquelle $\omega$ est positive par définition. Si $\omega$ est positive pour une orientation $\mathcal O$, alors $\mathcal O \subset \mathcal P$, et $\mathcal O = \mathcal P$ par maximalité.

(iii) Une partition de l'unité. Notons les cartes de $\mathcal O$ par une lettre, $\alpha = (U_\alpha, \varphi_\alpha)$. Il suffit de disposer d'une partition de l'unité $(\chi_t)_{t \in T}$ sur $M$ et, pour chaque $t$, d'une carte directe $\alpha(t)$ telle que $\overline{\{\chi_t \neq 0\}} \subset U_{\alpha(t)}$. Une partition de l'unité subordonnée à $(U_\alpha)_{\alpha \in \mathcal O}$ convient, avec $T = \mathcal O$ et $\alpha(t) = t$ : elle est fournie par Partitions de l'unité, (vi), et, si $M$ est compacte, sans choix par Partitions de l'unité, (iii). Si une suite $(U_m, \varphi_m)_{m \in J}$ de cartes directes dont les domaines recouvrent $M$ est donnée, Partitions de l'unité, (v), fournit sans choix une partition $(\chi_t)$ avec $\overline{\{\chi_t \neq 0\}} \subset U_{m(t)}$, et l'on prend $\alpha(t) = (U_{m(t)}, \varphi_{m(t)})$.

Les coefficients. Pour une carte $(V, \psi)$ de $M$ et $t \in T$, soit $b_{\psi,t}$ la fonction sur $\psi(V)$ égale à $$(\chi_t \circ \psi^{-1}) \cdot \det d\big(\varphi_{\alpha(t)} \circ \psi^{-1}\big)$$ sur $\psi(V \cap U_{\alpha(t)})$, et à $0$ sur $\psi(V \setminus U_{\alpha(t)})$. Elle est de classe $C^\infty$ : elle l'est sur l'ouvert $\psi(V \cap U_{\alpha(t)})$, comme produit de fonctions de classe $C^\infty$, et sur l'ouvert $\psi\big(V \setminus \overline{\{\chi_t \neq 0\}}\big)$, où elle est nulle ; ces deux ouverts recouvrent $\psi(V)$, puisque $\overline{\{\chi_t \neq 0\}} \subset U_{\alpha(t)}$, et (i) du nœud Partitions de l'unité conclut. Les parties $\{b_{\psi,t} \neq 0\} \subset \psi(V \cap \{\chi_t \neq 0\})$ forment une famille localement finie, image par l'homéomorphisme $\psi$ d'une famille localement finie de $V$ : la somme $$a_\psi = \sum_{t \in T} b_{\psi,t}$$ est de classe $C^\infty$ sur $\psi(V)$, par le même point (i).

Compatibilité. Soient $(V, \psi)$ et $(V', \psi')$ deux cartes et $\tau = \psi' \circ \psi^{-1}$ sur $\psi(V \cap V')$. Sur $\psi(V \cap V' \cap U_{\alpha(t)})$, $\varphi_{\alpha(t)} \circ \psi^{-1} = (\varphi_{\alpha(t)} \circ \psi'^{-1}) \circ \tau$, et la règle de la chaîne donne $b_{\psi,t} = (b_{\psi',t} \circ \tau) \det d\tau$ ; hors de $U_{\alpha(t)}$, les deux membres sont nuls. En sommant, $a_\psi = (a_{\psi'} \circ \tau) \det d\tau$. Comme $\tau^*(a\, dz_1 \wedge \cdots \wedge dz_n) = (a \circ \tau) \det d\tau\, dz_1 \wedge \cdots \wedge dz_n$ (Formes sur une variété, (ii)), les formes $\omega_\psi = a_\psi\, dz_1 \wedge \cdots \wedge dz_n$ sont compatibles : elles définissent une forme $\omega$ de degré $n$ sur $M$.

Positivité. Si $\psi \in \mathcal O$, chaque $\det d(\varphi_{\alpha(t)} \circ \psi^{-1})$ est strictement positif, les deux cartes étant directes, et $b_{\psi,t} \geqslant 0$. En $y = \psi(p)$, l'un des $\chi_t(p)$ au moins est strictement positif, puisque leur somme vaut $1$, et alors $p \in U_{\alpha(t)}$ : $a_\psi(y) > 0$. Pour une carte quelconque $(V', \chi)$ et un point $p$ de $V'$, une carte directe $(V, \psi)$ en $p$ donne $a_\chi = (a_\psi \circ \tau) \det d\tau$ au voisinage de $\chi(p)$, avec $\tau = \psi \circ \chi^{-1}$, quantité non nulle. Ainsi $\omega$ est une forme volume, positive pour $\mathcal O$.

Enfin, si $M$ est orientable, elle a un atlas orienté, contenu dans une orientation par (i), et porte donc une forme volume ; la réciproque est le point (iii) du nœud Formes sur une variété.

(iv) Dans chaque carte, $a_\varphi^\omega$ ne s'annule pas ; posons $f_\varphi = a_\varphi^\eta/a_\varphi^\omega$, de classe $C^\infty$ sur $\varphi(U)$. Les deux coefficients se transforment par le même facteur $\det d\tau$, si bien que $f_\varphi = f_\psi \circ \tau$ : la fonction $f$ égale à $f_\varphi \circ \varphi$ sur chaque $U$ est bien définie sur $M$, et elle est lisse, puisque ses expressions dans les cartes sont les $f_\varphi$. Alors $\eta = f\omega$, et $f$ est la seule fonction qui convienne, puisque $a^\omega_\varphi$ ne s'annule pas. Le coefficient $(f \circ \varphi^{-1})\,a_\varphi^\omega$ ne s'annule pas si et seulement si $f$ ne s'annule pas sur $U$, et il est positif dans les cartes de $\mathcal O_\omega$, où $a^\omega_\varphi > 0$, si et seulement si $f > 0$.