Théorème 2Intégration sur les variétés et formule de Stokes

Formule de Stokes sur une variété orientée à bord

Énoncé

(i) Soit $M$ une variété à bord orientée de dimension $n \geqslant 2$ , son bord $\partial M$ étant muni de l'orientation induite (Orientation induite, (iii)), et $\omega$ une forme de degré $n - 1$ sur $M$ à support compact. Alors $j^*\omega$ est à support compact, et $\int_M d\omega = \int_{\partial M} j^*\omega,$ ce que l'on écrit $\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega$ . C'est la formule de Stokes. Si $M$ est compacte, elle vaut pour toute forme de degré $n - 1$ .

(ii) Soit $M$ une variété à bord orientée de dimension $n \geqslant 1$ , de bord vide, en particulier une variété orientée vue comme variété à bord orientée (Variétés à bord, (v), Orientation induite, (ii)). Pour toute forme $\omega$ de degré $n - 1$ sur $M$ à support compact, $\int_M d\omega = 0$ .

Démonstration

(i) Supports. Le support de $d\omega$ est contenu dans celui de $\omega$ , fermé dans un compact, donc compact ; celui de $j^*\omega$ est contenu dans l'intersection du support de $\omega$ avec le fermé $\partial M$ , et il est compact pour la même raison (Orientation induite, (i)).

Découpage. Soit $(U_l, \varphi_l)_{1 \leqslant l \leqslant m}$ , $(\chi_l)$ un système de cartes pour le support de $\omega$ (Intégrale sur une variété, (i)). Alors $\omega = \sum_l \chi_l\,\omega$ : l'égalité a lieu sur l'ouvert où $\sum_l \chi_l = 1$ , et hors du support de $\omega$ les deux membres sont nuls. Par linéarité de $d$ , de $j^*$ et des intégrales (Intégrale sur une variété, (iii)), il suffit d'établir la formule pour chaque forme $\chi_l\,\omega$ , dont le support est un compact contenu dans $U_l$ .

Une carte. Soit donc $\omega$ à support dans le domaine d'une carte directe $(U, \varphi)$ , $A = \varphi(U)$ , et, avec la notation $dz_{\hat\imath}$ du nœud Stokes sur le demi-espace, $\eta = \omega_\varphi = \sum_{i=1}^n (-1)^{i-1} f_i\,dz_{\hat\imath},$ forme sur $A$ dont les coefficients sont nuls hors du compact $\varphi(\operatorname{supp}\omega)$ . Le support de $d\omega$ est dans $U$ , et $(d\omega)_\varphi = d\eta = \big(\sum_i \partial_i f_i\big)\,dz_1 \wedge \cdots \wedge dz_n$ . Par la définition de l'intégrale (Intégrale sur une variété, (iii)) et le nœud Stokes sur le demi-espace, $\int_M d\omega = \int_A \sum_i \partial_i f_i = -\int_{A'} f_n(z', 0)\,dz'.$

Le bord. Le support de $j^*\omega$ est contenu dans $U \cap \partial M$ , domaine de la carte $\pi \circ \varphi$ de $\partial M$ , à valeurs dans $A'$ . Comme $\iota^*dz_n = 0$ et $\iota^*dz_l = dz_l$ pour $l < n$ , seul le terme $i = n$ de $\eta$ subsiste : $\begin{aligned} (j^*\omega)_{\pi \circ \varphi} &= \iota^*\eta \\ &= (-1)^{n-1} f_n(z', 0) \\ &\qquad dz_1 \wedge \cdots \wedge dz_{n-1}. \end{aligned}$ La carte $\kappa \circ \pi \circ \varphi$ est directe pour l'orientation induite, et le changement de carte qui y mène est $\kappa$ , égal à sa réciproque, de déterminant $(-1)^n$ . Par Formes sur une variété, (ii), le coefficient de $j^*\omega$ dans cette carte est $\begin{aligned} &(-1)^{n-1}(-1)^n f_n(\kappa(w), 0) \\ &\quad = -f_n(\kappa(w), 0), \end{aligned}$ pour $w \in \kappa(A')$ . La variété $\partial M$ est sans bord, et le nœud Intégrale sur une variété, (iv), puis le nœud Changement de variables, (ii), appliqué à $\kappa$ , de jacobien de valeur absolue $1$ , donnent $\begin{aligned} \int_{\partial M} j^*\omega &= -\int_{\kappa(A')} f_n(\kappa(w), 0)\,dw \\ &= -\int_{A'} f_n(z', 0)\,dz'. \end{aligned}$ Les deux membres sont égaux.

(ii) Si $\partial M$ est vide, aucune carte n'atteint $\partial\mathbb H^n$ , chaque ouvert $A'$ est vide, et le calcul précédent donne $\int_M d(\chi_l\,\omega) = 0$ pour tout $l$ , sans qu'il soit question d'orientation induite ; ce calcul vaut pour $n = 1$ . Si $M$ est une variété orientée, sa structure de variété à bord a un bord vide (Variétés à bord, (v)).

Aucun choix n'intervient : le système de cartes est fini.

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Remarque

Sur le disque fermé $D$ , orienté comme au nœud Orientation induite, et pour $\omega = x\,dy$ , on a $d\omega = dx \wedge dy$ et $\int_D d\omega = \pi$ , l'aire du disque. Au bord, dans la carte induite $w = -x$ du demi-cercle supérieur, $x\,dy$ devient $\frac{w^2}{\sqrt{1 - w^2}}\,dw$ , d'intégrale $\frac\pi2$ sur $]{-1}, 1[$ ; le demi-cercle inférieur, dans la carte directe $(x, 1 - x^2 - y^2)$ , de jacobien $-2y > 0$ , donne aussi $\frac\pi2$ . Ce calcul par deux demi-cercles ouverts, qui ne recouvrent pas le cercle, n'est pas celui de la définition, qui demande une partition de l'unité ; il redonne néanmoins la valeur $\pi$ qu'impose la formule, chacune des deux intégrales impropres valant $\frac\pi2$ .

Pour la boule fermée $\bar B$ de $\mathbb R^3$ et $\omega = z\,dx \wedge dy$ , $d\omega = dx \wedge dy \wedge dz$ et $\int_{\bar B} d\omega = \frac{4\pi}3$ . Sur chaque hémisphère, dans les cartes induites $(x, y)$ au nord et $(-x, y)$ au sud, issues des cartes directes $(-x, y, 1 - x^2 - y^2 - z^2)$ sur $\{z > 0\}$ et $(x, y, 1 - x^2 - y^2 - z^2)$ sur $\{z < 0\}$ , de jacobiens $2z$ et $-2z$ (Orientation induite), le coefficient de $z\,dx \wedge dy$ est $\sqrt{1 - s^2 - t^2}$ , d'intégrale $\frac{2\pi}3$ sur le disque unité : le flux sortant du champ $(0, 0, z)$ vaut bien le volume. Ces valeurs ont été vérifiées par un calcul formel ; le signe $(-1)^n$ de l'orientation induite, qui distingue la dimension $2$ de la dimension $3$ , est indispensable dans le second calcul.

Remarque

Sur une variété compacte orientée sans bord et non vide $M$ de dimension $n \geqslant 1$ , une forme volume positive $\omega$ (Forme volume) a une intégrale strictement positive. Chaque terme $\int_M \chi_l\,\omega$ est l'intégrale sur un pavé d'une fonction continue $g \geqslant 0$ , le coefficient de $\chi_l\,\omega$ dans une carte directe, et l'une au moins de ces fonctions est strictement positive en un point $x_0$ , que l'on peut prendre hors de $\partial\mathbb H^n$ , l'ensemble où elle ne s'annule pas étant un ouvert non vide de $\mathbb H^n$ . Par continuité, $g \geqslant g(x_0)/2$ sur un cube $B_\infty(x_0, r)$ contenu dans le pavé, et la croissance de l'intégrale itérée (Intégrales itérées, (ii)) donne $\int g \geqslant \frac{g(x_0)}2\int \prod_i \max\big(0, 1 - |x_i - x_{0,i}|/r\big) = \frac{g(x_0)}2\,r^n > 0$ , l'intégrale du produit étant le produit des intégrales, chacune égale à $r$ . Par (ii), $\omega$ n'est donc pas exacte. Par exemple, la forme $x\,dy - y\,dx$ sur le cercle, d'intégrale $2\pi$ (Intégrale sur une variété), n'est la différentielle d'aucune fonction lisse sur le cercle.

Remarque

Le livre de Spivak, Calculus on Manifolds (1965), culmine sur cet énoncé ; comme ici, une partition de l'unité ramène la formule sur la variété à un calcul local, où elle se réduit au théorème fondamental de l'analyse. L'histoire de la formule, de Thomson et Stokes à Cartan, est rappelée au nœud Formule de Stokes.

Repose sur

Intégrale d'une forme de degré maximal sur une variété orientée Formule de Stokes sur un ouvert du demi-espace

Sert à

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