Intégrale d'une forme de degré maximal sur une variété orientée

(i) Des fonctions plateau au bord. Soit $\psi_{c,r}$ la fonction du nœud Partitions de l'unité, (ii), de classe $C^\infty$ sur $\mathbb R^n$, strictement positive sur $B_\infty(c, r)$ et nulle ailleurs. Soit $(U, \varphi)$ une carte de $M$ et $C(c, r) = \{y : \|y - c\|_\infty \leqslant r\}$ un cube tel que $C(c, r) \cap \mathbb H^n \subset \varphi(U)$. Notons $g$ la fonction égale à $\psi_{c,r} \circ \varphi$ sur $U$ et à $0$ ailleurs, et $L = \varphi^{-1}\big(C(c, r) \cap \mathbb H^n\big)$. La partie $C(c, r) \cap \mathbb H^n$ est fermée et bornée, donc compacte ; $L$ est compact, image d'un compact par $\varphi^{-1}$, donc fermé dans $M$, qui est séparé (Compacts, fermés et images, (ii) et (iii)). La fonction $g$ est lisse sur $U$, ses expressions dans les cartes étant des composées d'applications de classe $C^\infty$ (Variétés à bord, (i)), et nulle sur l'ouvert $M \setminus L$ : elle est lisse. Elle est positive, non nulle exactement sur $\varphi^{-1}(B_\infty(c, r))$, et l'adhérence de $\{g \neq 0\}$ est contenue dans $L$, donc compacte.

La construction. Soit $\mathcal G$ l'ensemble des couples $(g, \alpha)$ formés d'un indice $\alpha$ et d'une telle fonction $g$, construite avec $C(c, r) \cap \mathbb H^n \subset \varphi(U \cap U_\alpha)$. Si $p \in K$ est dans $U_\alpha$ et dans le domaine d'une carte $(U, \varphi)$, l'ouvert $\varphi(U \cap U_\alpha)$ de $\mathbb H^n$ contient $B_\infty(\varphi(p), r_0) \cap \mathbb H^n$ pour un $r_0 > 0$, et le cube $C(\varphi(p), r_0/2)$ fournit un couple $(g, \alpha) \in \mathcal G$ tel que $g(p) > 0$. Les ouverts $\{g > 0\}$, pour $(g, \alpha) \in \mathcal G$, recouvrent donc $K$. La suite de la démonstration du nœud Partitions de l'unité, (iii), s'applique alors sans changement : un nombre fini de ces ouverts recouvre $K$, la somme $S$ des fonctions correspondantes est strictement positive sur $K$, et les quotients par $S + \theta(\varepsilon - S)$ conviennent. Seul un nombre fini de couples est choisi, ce qui ne demande aucun axiome du choix.

Les domaines des cartes directes recouvrent $M$, puisqu'une orientation est un atlas ; appliquée au support de $\omega$ et à la famille de ces domaines, la construction fournit un système de cartes.

(ii) Soient $(U, \varphi)$ et $(V, \psi)$ deux cartes directes dont les domaines contiennent le support de $\omega$, et $\tau = \psi \circ \varphi^{-1}$, difféomorphisme de $\varphi(U \cap V)$ sur $\psi(U \cap V)$, de déterminant jacobien strictement positif. Par Formes sur une variété, (ii), valable ici par Orientation induite, (i), $a_\varphi = (a_\psi \circ \tau)\,\det d\tau = (a_\psi \circ \tau)\,|\det d\tau|$ sur $\varphi(U \cap V)$. Les supports de $a_\varphi$ et de $a_\psi$ sont contenus dans $\varphi(U \cap V)$ et $\psi(U \cap V)$, et le nœud Changement de variables au bord, (i) puis (ii), donne $$\begin{aligned} \int_{\varphi(U)} a_\varphi &= \int_{\varphi(U \cap V)} a_\varphi \\ &= \int_{\psi(U \cap V)} a_\psi = \int_{\psi(V)} a_\psi. \end{aligned}$$

(iii) Pour une forme dont le support est contenu dans le domaine $U$ d'une carte directe, l'intégrale de (ii) est linéaire, comme $a_\varphi$ et l'intégrale du nœud Changement de variables au bord. Soient $(\chi_l)$ et $(\chi'_k)$ deux systèmes de cartes pour $\omega$. Pour chaque $l$, $\chi_l\,\omega = \sum_k \chi'_k\chi_l\,\omega$ : l'égalité a lieu sur l'ouvert où $\sum_k \chi'_k = 1$, et hors du support de $\omega$ les deux membres sont nuls. Chaque $\chi'_k\chi_l\,\omega$ a son support, compact, dans $U_l \cap U'_k$, et, par linéarité dans la carte $\varphi_l$, puis par (ii), $$\begin{aligned} \sum_l \int_M \chi_l\,\omega &= \sum_l \sum_k \int_M \chi'_k\chi_l\,\omega \\ &= \sum_k \int_M \chi'_k\,\omega, \end{aligned}$$ la dernière égalité par le même calcul, les rôles étant échangés. Si le support de $\omega$ est contenu dans le domaine $U$ d'une carte directe et si $(\chi_l)$ est un système de cartes, la valeur de (ii) dans la carte $U$ est, par linéarité, la somme des valeurs dans cette carte des $\chi_l\,\omega$, dont chacune est, par (ii), la valeur dans la carte $U_l$ : les deux définitions coïncident. Pour la linéarité, on prend pour $\omega$ et $\omega'$ un même système de cartes, construit par (i) pour la réunion de leurs supports.

(iv) Le support $K$ de $\omega$ est compact, et la coordonnée $z_n$ est bornée sur le compact $\varphi(K)$ (Compacts de ℝ, (iii)) : il existe un réel $t$ tel que $\varphi(K) \subset \{z_n > -t\}$, et $K \subset U_t$. Dans la carte directe $\varphi_t = \varphi + t\,e_n$, le coefficient de $\omega$ est $a_\varphi(z - t\,e_n)$, la translation ayant pour différentielle l'identité ; son support est contenu dans $\mathring{\mathbb H}^n$. Le nœud Changement de variables au bord, (i), puis le nœud Changement de variables, (ii), appliqué à la translation $z \mapsto z - t\,e_n$, de jacobien $1$, donnent $\int_M \omega = \int_{\varphi(U)} a_\varphi$. Pour la carte $\mathrm{id}$ d'un ouvert de $\mathbb R^n$, c'est la définition du nœud Support compact, l'intégrale de $a_{\mathrm{id}}$ sur un pavé contenant son support.