ChapitreCohomologie de de Rham

Intégration sur les variétés et formule de Stokes

La formule du changement de variables y est démontrée pour l'intégrale de Riemann des fonctions continues à support compact, sans la théorie de la mesure : un difféomorphisme se décompose localement en une application qui garde la dernière coordonnée et une application qui ne change qu'elle, et une récurrence sur la dimension, appuyée sur le théorème de Fubini pour les fonctions continues, ramène la formule à la règle de substitution. Elle entraîne que l'intégrale d'une forme sur un cube singulier ne dépend pas du paramétrage, à difféomorphisme du cube de jacobien positif près.

Les variétés à bord sont modelées sur le demi-espace $\{x_n \geqslant 0\}$ ; le bord est bien défini grâce à l'inversion locale, et une orientation de la variété induit sur le bord l'orientation donnée par la normale sortante. Une partition de l'unité au voisinage d'un compact définit l'intégrale d'une forme de degré maximal à support compact sur une variété orientée, indépendante des cartes grâce au changement de variables. La formule de Stokes, $\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega$, s'en déduit par le calcul fait sur le cube unité, appliqué au demi-espace. Aucun choix n'intervient.