Intégrale sur un cube et difféomorphismes du cube

(i) Comme $\tilde\rho = \rho$ sur $I^k$, à valeurs dans $I^k$, la composée $\tilde\sigma \circ \tilde\rho$ est l'identité sur $I^k$. En un point de $]0, 1[^k$, la règle de la chaîne donne $d\tilde\sigma(\rho(x)) \circ d\tilde\rho(x) = \mathrm{id}$ ; par continuité, cela vaut sur $I^k$, et $\det d\rho(x) \neq 0$.

Soit $x \in \,]0, 1[^k$. Par le théorème d'inversion locale (Inversion locale), $\tilde\rho$ induit un difféomorphisme d'un ouvert $V \ni x$ sur un ouvert ; quitte à remplacer $V$ par $V \cap \,]0, 1[^k$, l'image $\rho(V)$ est un ouvert qui contient $\rho(x)$ et qui est contenu dans $I^k$. Or un point de $I^k$ dont une coordonnée vaut $0$ ou $1$ n'a aucun voisinage ouvert contenu dans $I^k$ : $\rho(x) \in \,]0, 1[^k$. Le même argument vaut pour $\rho^{-1}$, de sorte que $\rho$ envoie $]0, 1[^k$ sur lui-même, et, étant bijective, $\partial I^k$ sur lui-même.

(ii) Une troncature. Pour $0 < \delta \leqslant \frac12$ et $u \in [0, 1]$, notons $m(u) = \min(u, 1 - u)$ et posons $$\vartheta_\delta(u) = \min\Big(1, \max\Big(0, \frac{2m(u)}{\delta} - 1\Big)\Big),$$ fonction continue, nulle là où $m(u) \leqslant \frac\delta2$ et égale à $1$ là où $m(u) \geqslant \delta$, et $\varphi_\delta(x) = \prod_{i=1}^k \vartheta_\delta(x_i)$. On a $\int_0^1 \vartheta_\delta = 1 - \frac{3\delta}2$, et l'intégrale itérée d'un produit de fonctions de variables séparées étant le produit de leurs intégrales, $$\begin{aligned} 0 &\leqslant \int_{I^k} (1 - \varphi_\delta) \\ &= 1 - \Big(1 - \frac{3\delta}2\Big)^k \leqslant \frac{3k\delta}2, \end{aligned}$$ par l'inégalité $(1 - u)^k \geqslant 1 - ku$ pour $u \in [0, 1]$, qui se démontre par récurrence sur $k$.

Une constante de Lipschitz. La fonction $x \mapsto |||d\tilde\sigma(x)|||$, pour la norme subordonnée à $\|\cdot\|_\infty$, est continue sur le compact $I^k$, donc majorée par un réel $M$ (Compacts de ℝ, (iii)) ; posons $L = M + 1$. Pour $x, x' \in I^k$, le segment $[x, x']$ est contenu dans $I^k$, et chaque coordonnée $u \mapsto \tilde\sigma_l(x + u(x' - x))$ a, sur $[0, 1]$, une dérivée de valeur absolue au plus $M\|x' - x\|_\infty$ ; par l'inégalité des accroissements finis (Inégalité des accroissements finis, (ii)), $\|\rho^{-1}(x') - \rho^{-1}(x)\|_\infty \leqslant L\|x' - x\|_\infty$.

Le bord ne compte pas. Soit $\delta \leqslant \frac1{4L}$ et $x \in I^k$ tel que $\rho(x) \notin [\delta, 1 - \delta]^k$. Une coordonnée de $y = \rho(x)$ est $< \delta$ ou $> 1 - \delta$ ; en la remplaçant par $0$ ou par $1$, on obtient un point $y_0 \in \partial I^k$ tel que $\|y - y_0\|_\infty < \delta$. Par (i), $x_0 = \rho^{-1}(y_0) \in \partial I^k$, et $\|x - x_0\|_\infty < L\delta$ : une coordonnée de $x$ est $< L\delta$ ou $> 1 - L\delta$, et $\varphi_{2L\delta}(x) = 0$. On a donc, sur $I^k$, $$0 \leqslant 1 - \varphi_\delta \circ \rho \leqslant 1 - \varphi_{2L\delta},$$ le premier membre étant nul là où $\rho(x) \in [\delta, 1 - \delta]^k$.

Conclusion. La fonction $g\varphi_\delta$ est nulle hors de $[\frac\delta2, 1 - \frac\delta2]^k$ : sa restriction à $]0, 1[^k$ appartient à $C_c(]0, 1[^k)$, et son intégrale sur $]0, 1[^k$ est son intégrale sur le pavé $I^k$. Le nœud Changement de variables, (ii), appliqué à la restriction de $\rho$ à $]0, 1[^k$, difféomorphisme de $]0, 1[^k$ sur lui-même par (i), donne $$\int_{I^k} g\varphi_\delta = \int_{I^k} (g \circ \rho)\,(\varphi_\delta \circ \rho)\,|\det d\rho|,$$ l'intégrande de droite étant nul sur $\partial I^k$, que $\rho$ envoie dans $\partial I^k$, où $\varphi_\delta$ est nulle. Soit $A$ et $B$ des majorants de $|g|$ et de $|\det d\rho|$ sur $I^k$. Par la croissance de l'intégrale itérée (Intégrales itérées, (ii)) et ce qui précède, $$\begin{aligned} &\Big|\int_{I^k} g - \int_{I^k} g\varphi_\delta\Big| \leqslant \frac{3kA\delta}2, \\ &\Big|\int_{I^k} (g \circ \rho)\,|\det d\rho| - \int_{I^k} g\varphi_\delta\Big| \\ &\quad \leqslant AB\int_{I^k} (1 - \varphi_{2L\delta}) \leqslant 3kLAB\,\delta. \end{aligned}$$ La différence des deux membres de (ii) est donc au plus $\frac{3k}2(A + 2LAB)\,\delta$ en valeur absolue, pour tout $\delta$ assez petit : elle est nulle.

(iii) Si $\tilde c : W \to U$ prolonge $c$, l'application $\tilde c \circ \tilde\rho$, définie sur l'ouvert $\tilde\rho^{-1}(W)$ du domaine de $\tilde\rho$, qui contient $I^k$, est de classe $C^\infty$ et prolonge $c \circ \rho$ : c'est un cube singulier lisse. Écrivons $\tilde c^*\omega = g\,dt_1 \wedge \cdots \wedge dt_k$. Par Formes différentielles, (iii), et Formes sur une variété, (ii), $$\begin{aligned} (\tilde c \circ \tilde\rho)^*\omega &= \tilde\rho^*(g\,dt_1 \wedge \cdots \wedge dt_k) \\ &= (g \circ \tilde\rho)\,\det d\tilde\rho\;dt_1 \wedge \cdots \wedge dt_k, \end{aligned}$$ et (ii), avec $|\det d\rho| = \det d\rho$, donne $\int_{c \circ \rho} \omega = \int_{I^k} (g \circ \rho)\det d\rho = \int_{I^k} g = \int_c \omega$.