Définition 2Cohomologie de de Rham

Cubes singuliers lisses, chaînes cubiques et leur bord

Soit $U$ un ouvert de ${\mathbb R^n}$ et $k \in {\mathbb N}$ . Un cube singulier lisse de dimension $k$ de $U$ est une application $c : I^k \to U$ qui est la restriction d'une application $\tilde c : W \to U$ de classe $C^\infty$ , définie sur un ouvert $W$ de $\mathbb R^k$ contenant $I^k$ ; on dit que $\tilde c$ prolonge $c$ . Pour $k = 0$ , c'est un point de $U$ .

Le mot « singulier » signifie qu'on n'exige de $c$ ni l'injectivité ni une différentielle de rang $k$ : un cube singulier peut écraser $I^k$ sur une courbe, ou sur un point.

Le groupe des chaînes cubiques $Q_k(U)$ est le groupe abélien libre sur l'ensemble des cubes singuliers lisses de dimension $k$ (Complexes de chaînes) ; on pose $Q_k(U) = 0$ pour $k < 0$ .

Pour $k \geqslant 1$ , $1 \leqslant i \leqslant k$ et $\varepsilon \in \{0, 1\}$ , l'application affine $\iota_{i,\varepsilon} : \mathbb R^{k-1} \to \mathbb R^k$ , $\begin{aligned} &\iota_{i,\varepsilon}(t_1, \dots, t_{k-1}) \\ &\quad = (t_1, \dots, t_{i-1}, \varepsilon, t_i, \dots, t_{k-1}), \end{aligned}$ insère $\varepsilon$ en position $i$ ; elle envoie $I^{k-1}$ sur la face $\{t_i = \varepsilon\}$ de $I^k$ .

La face $(i, \varepsilon)$ de $c$ est $c_{i,\varepsilon} = c \circ \iota_{i,\varepsilon}$ , et le bord de $c$ est $\partial c = \sum_{i=1}^k \sum_{\varepsilon = 0}^{1} (-1)^{i+\varepsilon}\, c_{i,\varepsilon}.$ Il se prolonge en un morphisme $\partial : Q_k(U) \to Q_{k-1}(U)$ , et l'on pose $\partial = 0$ sur $Q_0(U)$ .

Énoncé

(i) Les faces d'un cube singulier lisse sont des cubes singuliers lisses. Pour $1 \leqslant i \leqslant j \leqslant k - 1$ et $\varepsilon, \eta \in \{0, 1\}$ , $\iota_{i,\varepsilon} \circ \iota_{j,\eta} = \iota_{j+1,\eta} \circ \iota_{i,\varepsilon}.$

(ii) $\partial \circ \partial = 0$ : les $Q_k(U)$ forment un complexe de chaînes.

(iii) Si $\varphi : U \to V$ est de classe $C^\infty$ , où $V$ est un ouvert de $\mathbb R^m$ , la formule $\varphi_\#(c) = \varphi \circ c$ définit des morphismes $Q_k(U) \to Q_k(V)$ qui commutent au bord.

En particulier, si $\tilde c : W \to U$ prolonge $c$ et si $\mathbf 1_k$ désigne le cube de $W$ donné par l'inclusion de $I^k$ , alors $c = \tilde c_\#(\mathbf 1_k)$ et $\partial c = \tilde c_\#(\partial \mathbf 1_k)$ .

Démonstration

(i) Si $\tilde c : W \to U$ prolonge $c$ , l'ouvert $\iota_{i,\varepsilon}^{-1}(W)$ de $\mathbb R^{k-1}$ contient $I^{k-1}$ , et $\tilde c \circ \iota_{i,\varepsilon}$ , composée d'une application affine et d'une application de classe $C^\infty$ , est de classe $C^\infty$ (Classe Cᵏ, (ii) et (iii)) ; elle prolonge $c_{i,\varepsilon}$ .

Les deux membres de l'identité envoient $(t_1, \dots, t_{k-2})$ sur le point qui a $\varepsilon$ en position $i$ , $\eta$ en position $j + 1$ , et les $t_l$ dans l'ordre aux autres places. À gauche, $\iota_{j,\eta}$ place $\eta$ en position $j$ , puis $\iota_{i,\varepsilon}$ insère $\varepsilon$ en position $i \leqslant j$ , ce qui décale $\eta$ en position $j + 1$ . À droite, $\iota_{i,\varepsilon}$ place $\varepsilon$ en position $i$ , puis $\iota_{j+1,\eta}$ insère $\eta$ en position $j + 1 > i$ , sans déplacer $\varepsilon$ .

(ii) Pour $k \leqslant 1$ , $\partial\partial c$ appartient à $Q_{k-2}(U) = 0$ . Pour $k \geqslant 2$ , $\begin{aligned} &\partial\partial c = \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{k-1}\sum_{\varepsilon, \eta} \\ &\quad (-1)^{i+\varepsilon+j+\eta}\, c \circ \iota_{i,\varepsilon} \circ \iota_{j,\eta}. \end{aligned}$

Séparons les termes où $i \leqslant j$ de ceux où $i > j$ . L'application $(i, \varepsilon, j, \eta) \mapsto (j + 1, \eta, i, \varepsilon)$ est une bijection des premiers sur les seconds, de réciproque $(i', \varepsilon', j', \eta') \mapsto (j', \eta', i' - 1, \varepsilon')$ .

Par (i), elle associe à chaque terme un terme de même cube, $c \circ \iota_{j+1,\eta} \circ \iota_{i,\varepsilon} = c \circ \iota_{i,\varepsilon} \circ \iota_{j,\eta}$ , et de signe $(-1)^{(j+1)+\eta+i+\varepsilon}$ , opposé. Les termes se compensent deux à deux, et $\partial\partial = 0$ sur les chaînes par linéarité.

(iii) Si $\tilde c$ prolonge $c$ , $\varphi \circ \tilde c$ prolonge $\varphi \circ c$ et est de classe $C^\infty$ (Classe Cᵏ, (iii)) ; les faces de $\varphi \circ c$ sont les $\varphi \circ c_{i,\varepsilon}$ . On prolonge $\varphi_\#$ en un morphisme (Complexes de chaînes, (i)), qui commute au bord, puisque c'est le cas sur chaque cube.

Enfin $\mathbf 1_k$ est prolongé par l'identité de $W$ , ses faces sont les $\iota_{i,\varepsilon}$ restreintes à $I^{k-1}$ , et $\tilde c \circ \iota_{i,\varepsilon} = c_{i,\varepsilon}$ sur $I^{k-1}$ .

□

Remarque

Pour $k = 2$ , le bord s'écrit $\partial c = c_{2,0} + c_{1,1} - c_{2,1} - c_{1,0}$ : le côté du bas et celui de droite, parcourus dans le sens des coordonnées croissantes, puis le haut et la gauche, affectés du signe moins, c'est-à-dire parcourus en sens inverse. On retrouve le contour du carré dans le sens direct, avec les mêmes signes que les quatre chemins $\beta + \rho - \theta - \lambda$ du nœud Invariance par homotopie.

Chaque côté du carré

I^2

est paramétré par

I^1

dans le sens des coordonnées croissantes (flèches grises) et porte le signe

(-1)^{i+\varepsilon}

. Les deux côtés de signe moins, le haut et la gauche, sont parcourus à rebours : le bord

\partial\mathbf 1_2

, en rouge, fait le tour du carré dans le sens direct.

Remarque

En dimension $k$ , le signe $(-1)^{i+\varepsilon}$ est exactement celui qui oriente chaque face par la normale sortante. La normale sortante à la face $\{t_i = \varepsilon\}$ est $\nu = (-1)^{\varepsilon+1}e_i$ , et la paramétrisation $\iota_{i,\varepsilon}$ envoie la base canonique de $\mathbb R^{k-1}$ sur les $e_l$ , $l \neq i$ , dans l'ordre. Le déterminant de la famille $(\nu, e_1, \dots, e_{i-1}, e_{i+1}, \dots, e_k)$ vaut $(-1)^{\varepsilon+1}(-1)^{i-1} = (-1)^{i+\varepsilon}$ , puisque ramener $e_i$ en tête coûte $i - 1$ transpositions.

Les six faces du cube

I^3

, avec leur normale sortante et le signe

(-1)^{i+\varepsilon}

qu'elles portent dans

\partial\mathbf 1_3

. Une face de signe

+

est paramétrée dans le sens que fixe la normale sortante, une face de signe

-

dans le sens contraire : le bord du cube est sa surface orientée vers l'extérieur. La face

t_2 = 0

, tournée vers le lecteur, est grisée.

Remarque

L'erreur la plus tentante est de croire que l'homologie du complexe $Q$ est l'homologie singulière. Pour $U = \mathbb R^0$ , réduit à un point, il y a un seul cube $c_k$ de chaque dimension, constant, et ses faces $(i, 0)$ et $(i, 1)$ sont toutes deux le cube constant de dimension $k - 1$ , avec des signes opposés : $\partial c_k = 0$ . L'homologie de ce complexe vaut donc ${\mathbb Z}$ en chaque degré, alors que celle d'un point est nulle en degré $k \geqslant 1$ (Degré 0, point).

On corrige ce défaut en quotientant par les cubes dégénérés, qui ne dépendent pas de l'une des variables ; on retrouve alors l'homologie singulière, ce qui est admis ici, la preuve demandant de passer des cubes lisses aux cubes seulement continus, puis de comparer cubes et simplexes. Pour les simplexes, le passage du lisse au continu est fait au nœud Lisse et continu. L'intégration, seule utile ici, ne voit pas ce défaut : elle est nulle sur les cubes dégénérés (Intégrale sur une chaîne, (v)).

Repose sur

C'est un point de départ.

Sert à

Intégrale d'une forme sur une chaîne cubique