Théorie

Cohomologie de de Rham

La cohomologie de de Rham ${H^k_{\mathrm{dR}}}(U)$ d'un ouvert $U$ de ${\mathbb R^n}$, formes fermées modulo formes exactes, est un invariant différentiel ; le théorème de de Rham l'identifie à un invariant topologique, la cohomologie singulière à coefficients réels, par l'intégration des formes sur les simplexes. La théorie le démontre pour les ouverts de $\mathbb R^n$, en tout degré, d'abord pour la cohomologie des cochaînes singulières lisses, puis pour la cohomologie singulière des simplexes continus, en remplaçant chaque petit simplexe par le simplexe affine qui a les mêmes sommets.

Le graphe intérieur traite d'abord le degré $1$ : une forme fermée s'intègre le long de chemins seulement continus grâce à ses primitives locales, l'intégrale est invariante par homotopie, et elle définit un isomorphisme de $H^1$ sur le dual réel de $H_1$. L'injectivité s'obtient par intégration le long de lignes brisées, la surjectivité par recollement de primitives locales au moyen d'une partition de l'unité, construite à partir d'un recouvrement localement fini par des cubes.

La formule de Stokes $\int_z d\omega = \int_{\partial z} \omega$ y est démontrée en tout degré, pour les chaînes de cubes singuliers lisses, par le théorème de Fubini pour les fonctions continues et le théorème fondamental de l'analyse sur le cube unité ; elle donne la formule de Green-Riemann et le théorème de la divergence sur un pavé.

Un chapitre calcule la cohomologie par la suite exacte de Mayer-Vietoris et l'invariance par homotopie lisse : $H^k(\mathbb R^n \setminus \{0\})$ est de dimension $1$ en degrés $0$ et $n - 1$, engendré en degré $n - 1$ par la forme angle solide, et un champ de vecteurs tangent lisse sur une sphère de dimension paire s'annule. Un second chapitre démontre le théorème de de Rham en tout degré par la méthode de Weil : les formes et les cochaînes lisses sont comparées à la cohomologie du nerf du recouvrement par les cubes, au moyen de deux complexes doubles. Tout y est démontré sans choix, à une exception près, signalée à sa place : le passage au dual de l'homologie lisse, en degré $k \geqslant 1$, prolonge des morphismes à valeurs dans $\mathbb R$ par le lemme de Zorn, sauf pour l'injectivité en degré $1$ ; le degré $0$ s'en passe, et le nœud « De Rham en degré 1 » donne sans choix l'énoncé dual en degré $1$ pour l'homologie singulière continue.

Un troisième chapitre introduit la cohomologie à support compact $H^k_c(U)$, calcule $H^n_c(\mathbb R^n) \cong \mathbb R$ par l'intégrale, et démontre sans choix la dualité de Poincaré : l'accouplement $\int_U \omega \wedge \eta$ identifie $H^k(U)$ au dual de $H^{n-k}_c(U)$, pour tout ouvert $U$ de $\mathbb R^n$, d'abord pour les réunions finies de pavés par Mayer-Vietoris, puis par passage à la limite. La version pour les variétés compactes orientées n'est pas traitée.

Un quatrième chapitre démontre la formule de Stokes sur une variété orientée à bord de dimension au moins $2$, $\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega$, pour une forme à support compact. La mesure n'étant pas un ancêtre de la théorie, il établit d'abord la formule du changement de variables pour l'intégrale de Riemann des fonctions continues à support compact, par une décomposition locale des difféomorphismes et une récurrence sur la dimension ; puis il définit les variétés à bord, l'orientation induite sur le bord par la normale sortante, et l'intégrale d'une forme de degré maximal, au moyen d'une partition de l'unité au voisinage d'un compact. Aucun choix n'y intervient.