ChapitreCohomologie de de Rham

Support compact et dualité de Poincaré

Les formes à support compact donnent une seconde cohomologie, $H^k_c(U)$, fonctorielle dans l'autre sens, par extension par zéro, et non invariante par homotopie : $H^n_c(\mathbb R^n) \cong \mathbb R$ par l'intégrale, ce que démontre l'intégration dans les fibres. Elle a sa suite de Mayer-Vietoris, et l'accouplement $\int_U \omega \wedge \eta$ met face à face $H^k(U)$ et $H^{n-k}_c(U)$.

La dualité de Poincaré affirme que cet accouplement identifie $H^k(U)$ au dual de $H^{n-k}_c(U)$, pour tout ouvert $U$ de $\mathbb R^n$. Elle est démontrée d'abord pour les réunions finies de pavés ouverts, par Mayer-Vietoris et le lemme des cinq en dimension finie, puis pour tout ouvert, par passage à la limite sur les réunions finies de cubes ; les choix de ce passage sont remplacés par des points de norme minimale dans les cochaînes de Čech, de dimension finie. Aucun choix n'intervient.