Suite de Mayer-Vietoris à support compact

(i) Soit $F_U$ l'adhérence dans $X$ de l'ensemble où $\chi_U \neq 0$. Comme $\chi_U$ est nulle près de $X \setminus U$, $F_U \subset U$ ; de même $F_V \subset V$.

Injectivité de $i$ : la première composante de $i(\eta)$, prolongement par zéro de $\eta$, est nulle seulement si $\eta$ l'est. $s \circ i = 0$ : $j_*j_*\eta - j_*j_*\eta = 0$, les deux extensions successives donnant la même forme sur $X$ (Support compact, (i)).

Noyau de $s$. Si $j_*\alpha = -j_*\beta$, le support de cette forme est celui de $\alpha$, contenu dans $U$, et aussi celui de $\beta$, contenu dans $V$ : il est compact et contenu dans $U \cap V$. La restriction $\eta = \alpha|_{U \cap V}$ est donc à support compact, et $(\alpha, \beta) = i(\eta)$.

Surjectivité de $s$. Soit $\omega \in \Omega^k_c(X)$, de support $C$. La forme $\chi_U\omega$ est nulle hors de $C \cap F_U$, fermé du compact $C$, donc compact (Parties compactes, (i)), et contenu dans $U$ : sa restriction $\alpha$ à $U$ est à support compact. De même pour $\beta = (\chi_V\omega)|_V$, et $s(\alpha, \beta) = (\chi_U + \chi_V)\,\omega = \omega$.

Commutation. L'extension par zéro commute à $d$ (Support compact, (i)).

(ii) Comme au nœud Mayer-Vietoris, (ii), on pose $C_m = \Omega^{-m}_c$ et l'on applique le nœud Suite exacte longue : le morphisme de connexion va de $H^k_c(X)$ à $H^{k+1}_c(U \cap V)$.

(iii) Le couple $\big((\chi_U\omega)|_U, (\chi_V\omega)|_V\big)$ relève $\omega$, et sa différentielle est $(d\chi_U \wedge \omega, d\chi_V \wedge \omega)$, restreintes. Or $d\chi_V = -d\chi_U$. La forme $d\chi_U \wedge \omega$ est nulle près de $X \setminus U$, où $\chi_U$ est localement nulle, et près de $X \setminus V$, où $\chi_U = 1 - \chi_V$ est localement constante : son support est un fermé de $C$ contenu dans $U \cap V$, donc un compact de $U \cap V$. Si $\zeta$ est sa restriction à $U \cap V$, $i(\zeta)$ est la différentielle du relèvement, et $\delta_c[\omega] = [\zeta]$.