Partition de l'unité subordonnée à deux ouverts

(i) Cas dégénérés. Si $U = \mathbb R^n$ ou $V = \varnothing$, on prend $\chi_U = 1$ et $\chi_V = 0$ : la partie $X \setminus U$ est vide, et $\chi_V$ est nulle partout. On procède de même, en échangeant les rôles, si $V = \mathbb R^n$ ou $U = \varnothing$. On suppose désormais $U$ et $V$ non vides et distincts de $\mathbb R^n$.

Une jauge adaptée aux deux ouverts. Posons $$\delta'(x) = \min\Big(1, \max\big(d_U(x), d_V(x)\big)\Big).$$ Pour $a \notin U$, $\|x - a\|_\infty \leqslant \|x - y\|_\infty + \|y - a\|_\infty$, et, en passant à la borne inférieure, $d_U(x) \leqslant \|x - y\|_\infty + d_U(y)$ : $d_U$, et de même $d_V$, sont $1$-lipschitziennes. Comme $|\max(a, b) - \max(a', b')| \leqslant \max(|a - a'|, |b - b'|)$ et que $s \mapsto \min(1, s)$ est $1$-lipschitzienne, $\delta'$ l'est aussi.

Soit $x \in X$. Il appartient à $U$ ou à $V$, et cet ouvert contient une boule de centre $x$ : la distance correspondante est strictement positive, et $\delta'(x) > 0$. Soit $A$ celui des deux ouverts pour lequel $d_A(x) = \max(d_U(x), d_V(x))$, $U$ en cas d'égalité. Tout $y$ tel que $\|y - x\|_\infty < \delta'(x) \leqslant d_A(x)$ est dans $A$, sans quoi $d_A(x) \leqslant \|x - y\|_\infty$ : ainsi $B_\infty(x, \delta'(x)) \subset A \subset X$. Si $x \notin X$, le choix $a = x$ donne $d_U(x) = d_V(x) = 0$, et $\delta'(x) = 0$.

La fonction $\delta'$, à valeurs dans $[0, 1]$, a donc, pour l'ouvert $X$, toutes les propriétés de la fonction $\delta$ énoncées au nœud Recouvrement par des cubes, (i). Comme le précise ce nœud, ses énoncés (ii) à (v), et ceux du nœud Partition de l'unité, ne reposent que sur ces propriétés : ils valent pour la famille de cubes $B_i = B_\infty(p_i, r_i)$, $i \in I$, et la partition de l'unité $(\chi_i)$ construites avec $\delta'$ à la place de $\delta$.

Répartition des cubes. Soit $I_U$ l'ensemble des $i$ tels que $d_U(p_i) \geqslant d_V(p_i)$, et $I_V = I \setminus I_U$. Pour $i \in I_U$, on a $r_i < \delta'(p_i) \leqslant d_U(p_i)$ ; le cube fermé $\{y : \|y - p_i\|_\infty \leqslant r_i\}$ est donc contenu dans $U$, par l'argument précédent. De même, pour $i \in I_V$, il est contenu dans $V$. On pose $$\chi_U = \sum_{i \in I_U} \chi_i, \qquad \chi_V = \sum_{i \in I_V} \chi_i.$$

Sur chaque voisinage $W_x$ du nœud Recouvrement par des cubes, (iii), ces sommes n'ont qu'un nombre fini de termes non nuls : elles sont de classe $C^\infty$ sur $X$ (Partition de l'unité, (i)), positives, et de somme $\sum_i \chi_i = 1$, ce qui les place dans $[0, 1]$.

Nullité près du complémentaire. Soit $x \in X \setminus U$. Les cubes qui rencontrent $W_x$ sont en nombre fini. Pour ceux dont l'indice est dans $I_U$, le cube fermé est contenu dans $U$ et ne contient pas $x$ : $\|x - p_i\|_\infty > r_i$. Soit $\varepsilon > 0$ plus petit que $\delta'(x)/4$ et que les nombres $\|x - p_i\|_\infty - r_i$ correspondants. La boule $B_\infty(x, \varepsilon)$, contenue dans $W_x$, ne rencontre aucun cube d'indice dans $I_U$, et $\chi_U$ y est nulle, chaque $\chi_i$ étant nulle hors de $B_i$. Le cas de $\chi_V$ est symétrique.

(ii) Soit $O$ l'ensemble des points de $U$ qui ont un voisinage ouvert sur lequel $\chi_V$ est nulle. C'est un ouvert, qui contient $U \setminus V$ par (i), de sorte que $U = (U \cap V) \cup O$. La forme $\tilde\eta$ de l'énoncé est égale à $\chi_V\,\eta$, de classe $C^\infty$, sur $U \cap V$, et à $0$ sur $O$ : sur $O \cap V$, les deux expressions coïncident, puisque $\chi_V$ y est nulle.

Ses coefficients sont donc de classe $C^\infty$ sur deux ouverts de réunion $U$, et ils le sont sur $U$ (Partition de l'unité, (i)). Le second cas est symétrique.