Proposition 1Cohomologie de de Rham

Partition de l'unité associée aux cubes

On garde les notations du nœud Recouvrement par des cubes, et l'on pose $\psi_i = \psi_{p_i, r_i}$ pour $i \in I$ (Fonctions plateau).

Comme sur toute variété (Partitions de l'unité), une partition de l'unité sur $U$ est une famille $(\chi_i)_{i \in I}$ de fonctions positives de classe $C^\infty$ sur $U$ , telle que la famille des parties $\{\chi_i \neq 0\}$ soit localement finie, et que $\sum_i \chi_i = 1$ sur $U$ , la somme n'ayant en chaque point qu'un nombre fini de termes non nuls. Elle est subordonnée à une famille d'ouverts $(V_i)_{i \in I}$ si l'adhérence de $\{\chi_i \neq 0\}$ dans $U$ est contenue dans $V_i$ pour tout $i$ .

Énoncé

(i) La classe $C^\infty$ est locale. Soit $O$ un ouvert de $\mathbb R^n$ , $f : O \to \mathbb R^q$ et $(V_\alpha)$ une famille d'ouverts de réunion $O$ . Si chaque restriction $f|_{V_\alpha}$ est de classe $C^\infty$ , $f$ l'est.

(ii) La fonction $S = \sum_{i \in I} \psi_i$ est bien définie sur $U$ , et elle y est de classe $C^\infty$ et strictement positive.

(iii) Les fonctions $\chi_i = \psi_i/S$ forment une partition de l'unité sur $U$ , et $\chi_i(x) \neq 0$ si et seulement si $x \in B_i$ . Elle est subordonnée à la famille des cubes doubles $B_\infty(p_i, 2r_i)$ , qui sont contenus dans $U$ .

Démonstration

(i) Montrons par récurrence sur $k$ que $f$ est de classe $C^k$ , pour toutes les applications $f$ et tous les $q$ à la fois.

Pour $k = 0$ , la continuité en un point ne dépend que des valeurs de $f$ au voisinage de ce point. Il en va de même de la différentiabilité en $a \in V_\alpha$ : sa définition (Différentielle) ne fait intervenir $f(a + h)$ que pour $h$ petit, de sorte que $f$ est différentiable en $a$ , avec $df(a) = d(f|_{V_\alpha})(a)$ .

Si chaque $f|_{V_\alpha}$ est de classe $C^{k+1}$ , $f$ est donc différentiable en tout point, et la restriction de $df$ à $V_\alpha$ , qui est $d(f|_{V_\alpha})$ , vue à valeurs dans $\mathbb R^{qn}$ , est de classe $C^k$ . Par hypothèse de récurrence, $df$ est de classe $C^k$ sur $O$ , et $f$ est de classe $C^{k+1}$ (Classe Cᵏ).

(ii) Soit $x \in U$ . Sur $W_x$ , les $\psi_i$ dont le cube ne rencontre pas $W_x$ sont nulles (Fonctions plateau, (ii)), et il n'en reste qu'un nombre fini (Recouvrement par des cubes, (iii)).

La somme a donc un sens en chaque point, et sa restriction à $W_x$ est une somme finie de fonctions de classe $C^\infty$ , qui l'est (Classe Cᵏ, (ii)). Les $W_x$ sont des ouverts de réunion $U$ , et (i) conclut.

Enfin $x$ appartient à un cube $B_i$ (Recouvrement par des cubes, (ii)), où $\psi_i(x) > 0$ , les autres termes étant positifs : $S(x) > 0$ .

(iii) La fonction $t \mapsto 1/t$ est de classe $C^\infty$ sur $]0, +\infty[$ : si elle est de classe $C^k$ , sa dérivée $-\frac1t \cdot \frac1t$ l'est aussi, comme produit (Classe Cᵏ, (iii)), et elle est donc de classe $C^{k+1}$ . Par composition et produit, $\chi_i = \psi_i \cdot \frac1S$ est de classe $C^\infty$ sur $U$ .

Elle est positive, et non nulle exactement là où $\psi_i$ l'est, c'est-à-dire sur $B_i$ . La famille des $B_i$ est localement finie, et $\sum_i \chi_i = S/S = 1$ .

Pour $i = (k, p)$ , on a $2r_i = 2^{-k-2} \leqslant \delta(p)$ , de sorte que $B_\infty(p, 2r_i) \subset B_\infty(p, \delta(p)) \subset U$ (Recouvrement par des cubes, (i)). Le cube fermé $\{y : \|y - p\|_\infty \leqslant r_i\}$ est un fermé qui contient $B_i$ ; il contient donc l'adhérence de $\{\chi_i \neq 0\} = B_i$ , et il est contenu dans $B_\infty(p, 2r_i)$ .

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Remarque

Une partition de l'unité sert à recoller. Des objets définis chacun sur un cube, par exemple des fonctions $f_i$ , se combinent en $\sum_i \chi_i f_i$ , définie sur tout $U$ et égale à $f_i$ près d'un point qui n'appartient qu'au cube $B_i$ . Le nœud Surjectivité l'emploie ainsi, avec des constantes en guise d'objets locaux.

Remarque

Pour $U = \mathbb R^2 \setminus \{0\}$ et le point $x = \big(\frac3{10}, \frac1{10}\big)$ du nœud Recouvrement par des cubes, la somme $S(x)$ compte $44$ termes non nuls, un par cube contenant $x$ . Une partition de l'unité n'attribue donc pas chaque point à un seul cube : elle en fait une moyenne pondérée de nombreux cubes, dont les poids $\chi_i(x)$ dépendent de la position de $x$ dans chacun.

Remarque

La géométrie différentielle construit déjà des partitions de l'unité sur toute variété (Partitions de l'unité), et, sur un ouvert de $\mathbb R^n$ muni de la seule carte $\mathrm{id}$ , sans choix pour toute suite d'ouverts qui le recouvre (Partitions de l'unité, (v)) ; c'est ainsi qu'elle démontre qu'une variété orientable porte une forme volume (Forme volume). La partition de ce nœud est d'une autre nature : ses fonctions sont attachées à des cubes donnés par une formule, dont les intersections sont convexes et que le nœud Recouvrement par des cubes, (v), range selon un bon ordre. Ce sont ces propriétés, et non la seule existence d'une partition de l'unité, que demandent les nœuds suivants.

Repose sur

Une fonction plateau sur chaque cube Un recouvrement localement fini de l'ouvert par des cubes

Sert à

Formes fermées de périodes prescrites Mayer-Vietoris et homotopie