Un recouvrement localement fini de l'ouvert par des cubes

(i) Si $U = \mathbb R^n$, tout est clair. Sinon, pour $a \notin U$, $$\|x - a\|_\infty \leqslant \|x - y\|_\infty + \|y - a\|_\infty ;$$ en passant à la borne inférieure en $a$, $d(x) \leqslant \|x - y\|_\infty + d(y)$, et de même en échangeant $x$ et $y$. L'application $s \mapsto \min(1, s)$ vérifie $|\min(1, s) - \min(1, t)| \leqslant |s - t|$, d'où l'inégalité pour $\delta$.

Si $x \notin U$, le choix $a = x$ donne $d(x) = 0$. Si $x \in U$, il existe $\varepsilon > 0$ tel que $B_\infty(x, \varepsilon) \subset U$, $U$ étant ouvert (L'espace ℝⁿ, (i)) ; tout $a \notin U$ vérifie alors $\|x - a\|_\infty \geqslant \varepsilon$, et $d(x) \geqslant \varepsilon > 0$. Enfin, si $\|y - x\|_\infty < \delta(x)$, le point $y$ est dans $U$, puisque sinon $d(x) \leqslant \|x - y\|_\infty < d(x)$.

(ii) Inclusion. Pour $i = (k, p)$, $\delta(p) \geqslant 2^{-k-2} > 0$, donc $p \in U$ par (i), et $r_i = 2^{-k-3} < \delta(p)$ : par (i) encore, $B_i \subset B_\infty(p, \delta(p)) \subset U$.

Recouvrement. Soit $x \in U$. La propriété d'Archimède (Archimède) donne un entier $N \geqslant 1$ tel que $N\delta(x) > 1$, et $2^{-N} \leqslant 1/N < \delta(x)$ ; soit $k$ le plus petit entier tel que $2^{-k-1} < \delta(x)$ (Bon ordre sur ℕ). Alors $\delta(x) \leqslant 2^{-k}$ : par minimalité si $k \geqslant 1$, et parce que $\delta \leqslant 1$ si $k = 0$.

Pour chaque $l$, soit $m_l$ le plus grand entier tel que $m_l \leqslant 2^{k+4}x_l + \frac12$, qui existe par la propriété d'Archimède et le bon ordre ; alors $|2^{k+4}x_l - m_l| \leqslant \frac12$. Le point $p = 2^{-k-4}(m_1, \dots, m_n)$ vérifie donc $\|x - p\|_\infty \leqslant 2^{-k-5}$, et, par (i), $$\begin{aligned} \delta(p) &\geqslant \delta(x) - 2^{-k-5} \\ &> 2^{-k-1} - 2^{-k-5} \geqslant 2^{-k-2}, \\ \delta(p) &\leqslant \delta(x) + 2^{-k-5} \\ &\leqslant 2^{-k} + 2^{-k-5} \leqslant 2^{1-k}. \end{aligned}$$ Ainsi $i = (k, p) \in I$, et $\|x - p\|_\infty \leqslant 2^{-k-5} = r_i/4$ ; en particulier $x \in B_i$.

(iii) $W_x \subset U$ par (i).

Soit $y \in W_x \cap B_i$, avec $i = (k, p)$. D'une part $|\delta(y) - \delta(x)| < \delta(x)/4$ par (i). D'autre part $\|y - p\|_\infty < 2^{-k-3}$, donc, toujours par (i), $$\begin{aligned} 2^{-k-3} &\leqslant \delta(p) - 2^{-k-3} < \delta(y), \\ \delta(y) &< \delta(p) + 2^{-k-3} < 2^{2-k}. \end{aligned}$$ On en tire $2^{-k-3} < \frac54\,\delta(x)$ et $2^{2-k} > \frac34\,\delta(x)$, c'est-à-dire $$\frac{3}{16}\,\delta(x) < 2^{-k} < 10\,\delta(x),$$ ce que ne vérifie qu'un nombre fini d'entiers $k$.

Pour chacun d'eux, $\|p - x\|_\infty < \delta(x)/4 + 2^{-k-3}$, et chaque coordonnée de $2^{k+4}p$ est un entier d'un intervalle borné : il n'y a qu'un nombre fini de tels $p$.

(iv) Notons $u = p_j - p_i$. Un point commun à $B_i$ et $B_j$ est à distance $< r_i$ de $p_i$ et $< r_j$ de $p_j$, donc $\|u\|_\infty < r_i + r_j$. Pour $t \in [0, 1]$, le point $p_i + tu$ est à distance $t\|u\|_\infty$ de $p_i$ et $(1 - t)\|u\|_\infty$ de $p_j$.

Si $t \leqslant \frac{r_i}{r_i + r_j}$, la première distance est $< r_i$ ; sinon, $1 - t < \frac{r_j}{r_i + r_j}$, et la seconde est $< r_j$. Enfin, l'intersection de deux convexes est convexe.

(v) Les coordonnées de $p$ sont des rationnels, et deux couples de même image sont égaux. On pose $i < i'$ si l'image de $i$ a un rang strictement plus petit que celle de $i'$ dans la bijection fixée : c'est un ordre total, et une partie non vide de $I$ a pour plus petit élément celui dont l'image a le plus petit rang (Bon ordre sur ℕ).