Lemme 5Cohomologie de de Rham

Chaînes d'accès et périodes locales d'un morphisme

On garde les notations du nœud Recouvrement par des cubes, et l'on fixe un morphisme $\varphi : {H_1}(U) \to \mathbb R$ .

Pour deux points $x, y$ de ${\mathbb R^n}$ , $[x, y]$ désigne le simplexe affine $t \mapsto t_0x + t_1y$ (Subdivision barycentrique), d'image le segment $[x, y]$ et de bord $y - x$ ; c'est un simplexe singulier de $U$ dès que ce segment est contenu dans $U$ .

Une chaîne de cubes de $i$ à $j$ est une suite $(i_0, \dots, i_m)$ d'éléments de $I$ , avec $i_0 = i$ , $i_m = j$ et $B_{i_{l-1}} \cap B_{i_l} \neq \varnothing$ pour $1 \leqslant l \leqslant m$ .

Être reliés par une chaîne de cubes est une relation d'équivalence sur $I$ , par renversement et concaténation des chaînes. On note $b(i)$ le plus petit élément de la classe de $i$ , pour l'ordre du nœud Recouvrement par des cubes, (v).

La chaîne d'accès de $i$ est, parmi les chaînes de cubes de $b(i)$ à $i$ de longueur $m$ minimale, la plus petite pour l'ordre lexicographique.

On prend le plus petit $i_1$ par lequel commence une telle chaîne, puis, parmi celles qui commencent par $(i_0, i_1)$ , le plus petit $i_2$ possible, et ainsi de suite pendant $m$ étapes. À chaque étape, l'ensemble des candidats est non vide, puisque le début déjà construit est celui d'une chaîne de longueur $m$ , et il a un plus petit élément par le nœud Recouvrement par des cubes, (v). La chaîne obtenue est plus petite que toute autre chaîne de cubes de $b(i)$ à $i$ de longueur $m$ , au premier indice où elles diffèrent.

On lui associe la $1$ -chaîne $c_i = \sum_{l=1}^m [p_{i_{l-1}}, p_{i_l}],$ nulle si $i = b(i)$ , et, pour $x \in B_i$ , $\kappa_i(x) = c_i + [p_i, x].$

Énoncé

(i) $c_i$ et $\kappa_i(x)$ sont des chaînes de $U$ , et $\partial\kappa_i(x) = x - p_{b(i)}$ .

(ii) Si $\tau : \Delta_1 \to U$ est un simplexe singulier à valeurs dans $B_i$ , d'extrémités $x = \tau(e_0)$ et $y = \tau(e_1)$ , alors $\tau - \kappa_i(y) + \kappa_i(x)$ est un bord de $U$ .

(iii) Si $B_i \cap B_j \neq \varnothing$ , alors $b(i) = b(j)$ , et, pour $x \in B_i \cap B_j$ , $\kappa_i(x) - \kappa_j(x)$ est un cycle dont la classe ne dépend pas de $x$ . On pose $a_{ij} = \varphi\big([\kappa_i(x) - \kappa_j(x)]\big).$

(iv) Si $x \in B_i \cap B_j \cap B_{j'}$ , alors $a_{ij} + a_{jj'} = a_{ij'}$ ; de plus $a_{ii} = 0$ .

Démonstration

(i) Le segment $[p_{i_{l-1}}, p_{i_l}]$ est contenu dans $B_{i_{l-1}} \cup B_{i_l}$ , donc dans $U$ (Recouvrement par des cubes, (ii) et (iv)), et le segment $[p_i, x]$ dans le cube convexe $B_i$ . La somme des bords est télescopique : $\begin{aligned} \partial\kappa_i(x) &= \sum_{l=1}^m (p_{i_l} - p_{i_{l-1}}) + (x - p_i) \\ &= x - p_{b(i)}. \end{aligned}$

(ii) La chaîne $\tau + [p_i, x] - [p_i, y]$ est formée de simplexes à valeurs dans $B_i$ , et son bord est $(y - x) + (x - p_i) - (y - p_i) = 0 :$ c'est un cycle de $B_i$ . Le cube $B_i$ , convexe, est étoilé et a l'homologie d'un point (Invariance par homotopie, (ii)). Donc $H_1(B_i) = 0$ , et ce cycle est le bord d'une $2$ -chaîne de $B_i$ , qui est aussi une chaîne de $U$ . Or $\tau + [p_i, x] - [p_i, y] = \tau - \kappa_i(y) + \kappa_i(x)$ , les termes $c_i$ se compensant.

(iii) La suite $(i, j)$ est une chaîne de cubes : $i$ et $j$ ont la même classe, et $b(i) = b(j)$ . Par (i), le bord de $\kappa_i(x) - \kappa_j(x)$ est $(x - p_{b(i)}) - (x - p_{b(j)}) = 0$ .

Si $x, y \in B_i \cap B_j$ , le simplexe $[x, y]$ est à valeurs dans $B_i \cap B_j$ , qui est convexe (Recouvrement par des cubes, (iv)). Par (ii), appliqué dans $B_i$ puis dans $B_j$ , les chaînes $[x, y] - \kappa_i(y) + \kappa_i(x)$ et $[x, y] - \kappa_j(y) + \kappa_j(x)$ sont des bords. Leur différence, $\big(\kappa_i(x) - \kappa_j(x)\big) - \big(\kappa_i(y) - \kappa_j(y)\big),$ en est un aussi : les deux cycles ont la même classe.

(iv) Avec le même point $x$ , $\begin{aligned} &\big(\kappa_i(x) - \kappa_j(x)\big) + \big(\kappa_j(x) - \kappa_{j'}(x)\big) \\ &\quad = \kappa_i(x) - \kappa_{j'}(x), \end{aligned}$ et $\varphi$ est un morphisme. Pour $a_{ii}$ , le cycle est nul.

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Remarque

Le nombre $a_{ij}$ est la valeur de $\varphi$ sur un lacet : partir du centre du cube de base, suivre la chaîne d'accès de $i$ jusqu'à $p_i$ , aller en $x$ , puis revenir par $p_j$ et la chaîne d'accès de $j$ , parcourue à rebours. Sur $\mathbb R^2 \setminus \{0\}$ , ce lacet fait le tour de l'origine lorsque les deux chaînes d'accès la contournent de part et d'autre.

Pour

U = \mathbb R^2 \setminus \{0\}

, les cubes dessinés appartiennent au recouvrement (ici

k = 0

, rayon

\frac18

). Deux chaînes de cubes partent d'un cube pris pour base, grisé, de centre

p_b

: l'une contourne l'origine par le haut jusqu'au cube

B_i

, en bleu, l'autre par le bas jusqu'au cube

B_j

, en vert. Ce ne sont pas les chaînes d'accès, plus courtes, et dont le cube de base dépend de l'énumération fixée ; la démonstration permet de les mettre à leur place (remarque 2 du nœud Surjectivité). Avec les segments rouges qui joignent leurs centres au point

x

B_i \cap B_j

, elles forment un lacet qui fait une fois le tour de l'origine, et le nombre qu'il définit vaut

\varphi

de la classe d'un tour.

Remarque

L'erreur la plus tentante est de poser directement « $\varphi(\kappa_i(x))$ ». Or $\varphi$ n'est définie que sur les classes de cycles, et $\kappa_i(x)$ , de bord $x - p_{b(i)}$ , n'en est pas un. Seules les différences $\kappa_i(x) - \kappa_j(x)$ , qui reviennent à leur point de départ, ont une valeur ; c'est pourquoi les nombres $a_{ij}$ sont attachés aux paires de cubes qui se rencontrent, et non aux cubes eux-mêmes.

Remarque

Les chaînes d'accès sont désignées sans choix, comme plus petits éléments d'ensembles de suites finies, grâce à l'ordre fixé sur $I$ . Choisir arbitrairement un chemin vers chacun des cubes, en nombre infini, serait un usage de l'axiome du choix dénombrable ; la règle du plus petit élément l'évite.

Repose sur

Un recouvrement localement fini de l'ouvert par des cubes

Sert à

Formes fermées de périodes prescrites