Formes fermées de périodes prescrites

Si $U$ est vide, il n'y a rien à démontrer. Sinon, on reprend les cubes $B_i$ (Recouvrement par des cubes), la partition de l'unité $(\chi_j)$ (Partition de l'unité) et les nombres $a_{ij}$ attachés à $\varphi$ (Périodes locales).

Primitives locales. Pour $i \in I$, soit $J_i$ l'ensemble des $j$ tels que $B_i \cap B_j \neq \varnothing$, et, sur $B_i$, $$g_i = \sum_{j \in J_i} a_{ij}\,\chi_j.$$ Sur l'ouvert $W_x \cap B_i$, pour $x \in B_i$, seuls un nombre fini de termes ne sont pas identiquement nuls ; $g_i$ est donc de classe $C^\infty$ sur $B_i$ (Partition de l'unité, (i)).

Leurs différences sont constantes. Soit $x \in B_i \cap B_{j'}$. Si $\chi_j(x) \neq 0$, alors $x \in B_j$, de sorte que $j \in J_i \cap J_{j'}$ et que $a_{ij} - a_{j'j} = a_{ij'}$ (Périodes locales, (iv)) ; les autres $\chi_j$ sont nulles en $x$. Donc $$\begin{aligned} g_i(x) - g_{j'}(x) &= \sum_j (a_{ij} - a_{j'j})\,\chi_j(x) \\ &= a_{ij'}\sum_j \chi_j(x) = a_{ij'}. \end{aligned}$$

La forme. Sur l'ouvert $B_i \cap B_{j'}$, la différence $g_i - g_{j'}$ est constante, donc $dg_i = dg_{j'}$. On définit $\omega$ en posant $\omega_x = dg_i(x)$ pour un $i$ quelconque tel que $x \in B_i$. Ses coefficients sont les $\partial_l g_i$ sur chaque cube ; ils sont de classe $C^\infty$ sur chaque cube, donc sur $U$ (Partition de l'unité, (i)), et $\omega$ est une forme différentielle de degré $1$.

Sur chaque cube, $\omega = dg_i$, et $d\omega = d(dg_i) = 0$ (Formes différentielles, (ii)), puisque $d\omega$ ne dépend en chaque point que des dérivées des coefficients. Ainsi $\omega$ est fermée, et $g_i$ en est une primitive sur la boule $B_i$, au sens du nœud Primitives locales.

Réduction aux petites chaînes. Soit $z$ un cycle. Le théorème des petites chaînes (Petites chaînes), appliqué à l'ensemble des cubes, fournit $\rho$ et $D$ tels que $$z - \rho(z) = \partial Dz + D\partial z = \partial Dz.$$ La chaîne $z' = \rho(z)$ est un cycle, formé de simplexes à valeurs chacun dans un cube, et $[z] = [z']$. L'intégrale étant nulle sur les bords (Intégration sur les chaînes, (i)), $\int_z \omega = \int_{z'} \omega$.

Écrivons $z' = \sum_\tau n_\tau\,\tau$, somme finie. Pour chaque $\tau$, soit $i(\tau)$ le plus petit indice tel que $\tau$ soit à valeurs dans $B_{i(\tau)}$, et $x_\tau = \tau(e_0)$, $y_\tau = \tau(e_1)$. Soit $P$ l'ensemble fini de ces extrémités et, pour $y \in P$, $j(y)$ le plus petit indice tel que $y \in B_{j(y)}$ (Recouvrement par des cubes, (v)).

Pour $y \in P$ et $i$ tel que $y \in B_i$, le cycle $\zeta_i(y) = \kappa_i(y) - \kappa_{j(y)}(y)$ vérifie $\varphi([\zeta_i(y)]) = a_{i\,j(y)}$ (Périodes locales, (iii)).

Valeur de $\varphi$. Par Périodes locales, (ii), on a, modulo les bords, $$z' \equiv \sum_\tau n_\tau\Big(\kappa_{i(\tau)}(y_\tau) - \kappa_{i(\tau)}(x_\tau)\Big).$$ Soit $K : {\mathbb Z}^{(P)} \to C_1(U)$ le morphisme qui envoie $y$ sur $\kappa_{j(y)}(y)$ (Complexes de chaînes, (i)). En écrivant $\kappa_i(y) = \zeta_i(y) + K(y)$, le second membre devient $$\begin{aligned} &\sum_\tau n_\tau\Big(\zeta_{i(\tau)}(y_\tau) - \zeta_{i(\tau)}(x_\tau)\Big) \\ &\quad + K\Big(\sum_\tau n_\tau(y_\tau - x_\tau)\Big). \end{aligned}$$ L'argument de $K$ est $\partial z'$, élément de $\mathbb Z^{(P)} \subset C_0(U)$, qui est nul. Par conséquent $$\varphi([z]) = \sum_\tau n_\tau\Big(a_{i(\tau)\,j(y_\tau)} - a_{i(\tau)\,j(x_\tau)}\Big).$$

Valeur de l'intégrale. Chaque $\tau$ est à valeurs dans $B_{i(\tau)}$, où $g_{i(\tau)}$ est une primitive de $\omega$ ; la subdivision réduite à un seul morceau est adaptée (Intégrale le long d'un chemin continu), et $$\int_\tau \omega = g_{i(\tau)}(y_\tau) - g_{i(\tau)}(x_\tau).$$

Pour $y \in P$ et $y \in B_i$, le calcul des différences donne $$g_i(y) = a_{i\,j(y)} + g_{j(y)}(y).$$ Avec le morphisme $G : \mathbb Z^{(P)} \to \mathbb R$ qui envoie $y$ sur $g_{j(y)}(y)$, $$\begin{aligned} \int_{z'} \omega &= \sum_\tau n_\tau\Big(a_{i(\tau)\,j(y_\tau)} - a_{i(\tau)\,j(x_\tau)}\Big) \\ &\quad + G(\partial z'), \end{aligned}$$ et $G(\partial z') = 0$.

Conclusion. Les deux valeurs coïncident : $\int_z \omega = \varphi([z])$ pour tout cycle $z$, c'est-à-dire $\Phi([\omega]) = \varphi$. Aucun axiome du choix n'intervient : les indices $i(\tau)$ et $j(y)$ sont des plus petits éléments, et les nœuds utilisés n'en font pas.