Le complexe de Čech-de Rham d'un recouvrement par des cubes

(i) $\delta\delta = 0$. Pour $m < l$, retirer le terme d'indice $l$, puis celui d'indice $m$, revient à retirer celui d'indice $m$, puis celui d'indice $l - 1$ : $(\sigma^{(l)})^{(m)} = (\sigma^{(m)})^{(l-1)}$. Dans $\delta\delta c(\sigma) = \sum_{l,m} (-1)^{l+m}c\big((\sigma^{(l)})^{(m)}\big)$, le terme $(l, m)$ avec $m < l$ et le terme $(m, l - 1)$ sont donc égaux et de signes opposés, comme au nœud Homologie singulière, (i) ; ils se compensent, et tous les termes sont ainsi appariés. Le même calcul vaut dans $K$, les restrictions étant compatibles.

Le reste. $d$ commute aux restrictions, donc à $\delta$, et $dr = rd$. Les fonctions de $e(c)$ sont constantes, et $(\delta e(c))_\sigma$ est la constante $\sum_l (-1)^l c(\sigma^{(l)}) = (\delta c)(\sigma)$.

(ii) $h$ est bien défini. Le terme $\chi'_j\omega_{j\tau}$ est la forme sur $B_\tau$ égale à $\chi'_j\omega_{j\tau}$ sur $B_j \cap B_\tau$ et à $0$ ailleurs, nulle si $j\tau \notin N_p$. Par Supports dans les cubes, (iii), appliqué à l'ouvert $O = B_\tau$, la somme est une forme de classe $C^\infty$ sur $B_\tau$.

Les identités. On les vérifie en un point $x$ de $B_\sigma$, où seuls comptent les $j$ tels que $\chi'_j(x) \neq 0$, donc tels que $x \in B_j$ et $j\sigma \in N_{p+1}$. Pour $p \geqslant 1$, la suite $j\sigma$ privée de son premier terme est $\sigma$, et privée du terme d'indice $l + 1$, c'est $j\sigma^{(l)}$ ; donc $$(\delta\omega)_{j\sigma} = \omega_\sigma - \sum_{l=0}^p (-1)^l\,\omega_{j\sigma^{(l)}}.$$ Multiplions par $\chi'_j(x)$ et sommons en $j$ : on obtient $(h\delta\omega)_\sigma = \omega_\sigma - (\delta h\omega)_\sigma$, puisque $\sum_j \chi'_j = 1$.

Pour $p = 0$ et $\sigma = (i)$, $(\delta\omega)_{ji} = \omega_i - \omega_j$, d'où $(h\delta\omega)_i = \omega_i - \sum_j \chi'_j\omega_j = \omega_i - (rh\omega)_i$. Enfin $hr(\omega) = \sum_j \chi'_j\,\omega = \omega$.

Exactitude. $r$ est injective, puisque $hr = \mathrm{id}$, et $\delta r = 0$, la famille $r(\omega)$ ayant des restrictions égales. Si $\omega \in K^{0,q}$ et $\delta\omega = 0$, alors $\omega = r(h\omega)$. Si $\omega \in K^{p,q}$, $p \geqslant 1$, et $\delta\omega = 0$, alors $\omega = \delta(h\omega)$.

(iii) $e$ est injective, chaque $B_\sigma$ étant non vide. Une fonction de différentielle nulle sur le convexe $B_\sigma$ est constante (Accroissements finis, (ii), avec $M = 0$) : le noyau de $d$ sur $K^{p,0}$ est l'image de $e$.

Pour $q \geqslant 1$, soit $T_\sigma(x) = x + b_\sigma$, qui envoie l'ouvert $B_\sigma - b_\sigma$, étoilé par rapport à $0$, sur $B_\sigma$, et $K_0$ l'opérateur de la démonstration du nœud Lemme de Poincaré sur $B_\sigma - b_\sigma$, qui vérifie $dK_0 + K_0d = \mathrm{id}$ en degré $q \geqslant 1$. L'opérateur $$K_\sigma = (T_\sigma^{-1})^* \circ K_0 \circ T_\sigma^*$$ vérifie la même identité sur $B_\sigma$, les images réciproques commutant à $d$ (Formes différentielles, (iii)). Si $\omega \in K^{p,q}$ et $d\omega = 0$, la famille $(K_\sigma\omega_\sigma)_\sigma$ est un élément de $K^{p,q-1}$ de différentielle $\omega$.

(iv) Le lemme du complexe double (Complexe double, (iv)) donne l'isomorphisme $e_*^{-1}r_*$. Aucun choix n'intervient : le nerf, la partition de l'unité, les centres $b_\sigma$ et les opérateurs $h$ et $K_\sigma$ sont donnés par des formules.