Théorème 2Mayer-Vietoris et homotopie

Suite exacte de Mayer-Vietoris pour les formes

Soit $U$ et $V$ deux ouverts de ${\mathbb R^n}$ , $X = U \cup V$ , et $\chi_U$ , $\chi_V$ la partition de l'unité du nœud Partition pour deux ouverts. On note $\omega|_A$ la restriction d'une forme à un ouvert $A$ .

Énoncé

(i) Pour tout $k$ , la suite $\begin{aligned} 0 \to \Omega^k(X) &\xrightarrow{\ r\ } \Omega^k(U) \oplus \Omega^k(V) \\ &\xrightarrow{\ s\ } \Omega^k(U \cap V) \to 0, \end{aligned}$ où $r(\omega) = (\omega|_U, \omega|_V)$ et $s(\alpha, \beta) = \alpha|_{U \cap V} - \beta|_{U \cap V}$ , est une suite exacte, et $r$ , $s$ commutent à $d$ .

(ii) Il existe une suite exacte longue d'applications linéaires $\begin{aligned} 0 &\to {H^0}(X) \to H^0(U) \oplus H^0(V) \\ &\to \cdots \to H^k(X) \\ &\xrightarrow{r^*} H^k(U) \oplus H^k(V) \\ &\xrightarrow{s^*} H^k(U \cap V) \\ &\xrightarrow{\ \delta\ } H^{k+1}(X) \to \cdots \end{aligned}$ où $r^*$ et $s^*$ sont induites par $r$ et $s$ . C'est la suite de Mayer-Vietoris des formes.

(iii) Pour une forme fermée $\eta$ de degré $k$ sur $U \cap V$ , $\delta[\eta]$ est la classe de la forme $\omega$ sur $X$ égale à $d\chi_V \wedge \eta$ sur $U \cap V$ et à $0$ ailleurs.

Démonstration

(i) Injectivité de $r$ . Si $\omega|_U = 0$ et $\omega|_V = 0$ , alors $\omega = 0$ sur $U \cup V = X$ .

Exactitude au milieu. $s \circ r = 0$ . Réciproquement, si $\alpha|_{U \cap V} = \beta|_{U \cap V}$ , la forme égale à $\alpha$ sur $U$ et à $\beta$ sur $V$ est bien définie ; ses coefficients sont de classe $C^\infty$ sur $U$ et sur $V$ , donc sur $X$ (Partition de l'unité, (i)), et son image par $r$ est $(\alpha, \beta)$ .

Surjectivité de $s$ . Soit $\eta \in \Omega^k(U \cap V)$ . Par Partition pour deux ouverts, (ii), la forme $\alpha$ égale à $\chi_V\,\eta$ sur $U \cap V$ et à $0$ sur $U \setminus V$ est dans $\Omega^k(U)$ , et la forme $\beta$ égale à $-\chi_U\,\eta$ sur $U \cap V$ et à $0$ sur $V \setminus U$ est dans $\Omega^k(V)$ . Alors $s(\alpha, \beta) = (\chi_V + \chi_U)\,\eta = \eta.$

Commutation. La différentielle extérieure d'une forme ne fait intervenir, en chaque point, que les dérivées de ses coefficients en ce point : elle commute à la restriction, donc à $r$ et à $s$ .

(ii) Posons $C_m = \Omega^{-m}(X)$ , nul pour $m > 0$ , et $\partial = d : C_m \to C_{m-1}$ . C'est un complexe de chaînes au sens du nœud Complexes de chaînes, dont l'homologie en degré $m = -k$ est $Z^k(X)/B^k(X) = H^k(X)$ , avec $B^0(X) = \{0\}$ . Il en va de même pour $U$ , $V$ et $U \cap V$ . Par (i), $r$ et $s$ forment une suite exacte courte de complexes, et le nœud Suite exacte longue donne une suite exacte longue.

Le morphisme de connexion va de l'homologie en degré $m = -k$ de $\Omega(U \cap V)$ , soit $H^k(U \cap V)$ , à celle de $\Omega(X)$ en degré $m - 1$ , soit $H^{k+1}(X)$ . La suite commence par $0 \to H^0(X)$ , puisque $H^{-1}(U \cap V) = 0$ . Les applications $r^*$ et $s^*$ sont linéaires, et $\delta$ aussi, par la formule de (iii).

(iii) On suit la définition du nœud Suite exacte longue. Le couple $(\alpha, \beta)$ de la preuve de (i) relève $\eta$ , et $\delta[\eta] = [\omega]$ , où $\omega$ est l'unique forme sur $X$ telle que $r(\omega) = (d\alpha, d\beta)$ .

Sur $U \cap V$ , $d\alpha = d\chi_V \wedge \eta + \chi_V\,d\eta = d\chi_V \wedge \eta$ (Formes différentielles, (i)), puisque $d\eta = 0$ . Sur l'ouvert de $U$ où $\chi_V$ est localement nulle, $\alpha = 0$ et $d\alpha = 0$ .

De même $d\beta = -d\chi_U \wedge \eta$ sur $U \cap V$ , et $d\chi_U = -d\chi_V$ , puisque $\chi_U + \chi_V = 1$ ; et $d\beta = 0$ près de $V \setminus U$ . La forme $\omega$ est donc $d\chi_V \wedge \eta$ sur $U \cap V$ , et $0$ ailleurs.

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Remarque

C'est l'analogue, pour les formes, de la suite de Mayer-Vietoris de l'homologie (Mayer-Vietoris), avec les flèches renversées : les formes se restreignent d'un grand ouvert vers un petit, alors que les chaînes vont d'un petit vers un grand. La difficulté change aussi de place. En homologie, c'est la surjectivité à droite qui est immédiate et l'identification de $C^{U,V}(X)$ à $C(X)$ qui demande les petites chaînes ; ici, c'est la surjectivité de $s$ qui demande un outil, la partition de l'unité.

Remarque

L'erreur la plus répandue porte sur le signe de $s$ . Avec $s(\alpha, \beta) = \alpha + \beta$ , la suite n'est plus exacte au milieu : $s(r(\omega)) = 2\,\omega|_{U \cap V}$ n'est pas nul. C'est la différence qui exprime qu'un couple de formes « se recolle ».

Remarque

La formule (iii) dit ce que fait le morphisme de connexion. En degré $0$ , $\eta$ est une fonction localement constante sur $U \cap V$ : si $U \cap V$ a deux morceaux et que $\eta$ vaut $1$ sur l'un et $0$ sur l'autre, la forme $d\chi_V\,\eta$ est la différentielle d'une fonction qui passe de $0$ à $1$ là où $\chi_V$ passe de $0$ à $1$ , sur un seul des deux morceaux. Elle est localement exacte, mais pas exacte en général : le nœud ℝⁿ privé de l'origine le vérifie sur le plan épointé.

Repose sur

Partition de l'unité subordonnée à deux ouverts

Sert à

Cohomologie de de Rham de ℝⁿ privé de l'origine