Cohomologie de de Rham de ℝⁿ privé de l'origine

(i) $X_1$ est la réunion des deux intervalles ouverts disjoints $]{-\infty}, 0[$ et $]0, +\infty[$, qui en sont les composantes connexes : $H^0(X_1)$ est de dimension $2$ (Cohomologie de de Rham, (i)). Une forme de degré $k \geqslant 2$ sur un ouvert de $\mathbb R$ est nulle (Algèbre extérieure, (i)). Une forme de degré $1$ y est fermée, et elle a une primitive sur chaque intervalle, qui est étoilé (Lemme de Poincaré, après translation) ; la fonction égale à l'une sur $]{-\infty}, 0[$ et à l'autre sur $]0, +\infty[$ est une primitive sur $X_1$.

(iii) $U$ est étoilé par rapport à $e_n$. Soit $x \in U$, $t \in [0, 1]$ et $y = e_n + t(x - e_n)$. Si $y$ était dans $L_-$, on aurait $tx' = 0$ et $1 + t(x_n - 1) \leqslant 0$ ; alors $t \neq 0$, donc $x' = 0$, et $x_n \leqslant 1 - \frac1t \leqslant 0$, c'est-à-dire $x \in L_-$, ce qui est exclu.

La symétrie $(x', x_n) \mapsto (x', -x_n)$ échange $U$ et $V$, et $V$ est étoilé par rapport à $-e_n$. Par translation (Cohomologie de de Rham, (iv)), puis par (ii) de ce même nœud, $H^k(U) = H^k(V) = \{0\}$ pour $k \geqslant 1$, et $H^0(U) \cong H^0(V) \cong \mathbb R$, formé des fonctions constantes.

Un point est dans $U \cap V$ si et seulement s'il n'est pas sur l'axe porté par $e_n$, c'est-à-dire si $x' \neq 0$ : $U \cap V = X_{n-1} \times \mathbb R$.

Pour $k \geqslant 1$, la suite de Mayer-Vietoris (Mayer-Vietoris, (ii)) contient le segment $$\begin{aligned} 0 &= H^k(U) \oplus H^k(V) \to H^k(U \cap V) \\ &\xrightarrow{\delta} H^{k+1}(X_n) \\ &\to H^{k+1}(U) \oplus H^{k+1}(V) = 0, \end{aligned}$$ et l'exactitude rend $\delta$ injectif et surjectif.

(ii) Par Formule d'homotopie, (iii), $H^k(U \cap V) \cong H^k(X_{n-1})$ pour tout $k$. Le début de la suite de Mayer-Vietoris est $$\begin{aligned} 0 \to H^0(X_n) &\to \mathbb R^2 \xrightarrow{s^*} H^0(U \cap V) \\ &\xrightarrow{\delta} H^1(X_n) \to 0, \end{aligned}$$ puisque $H^1(U) \oplus H^1(V) = 0$, où $s^*$ envoie $(a, b)$ sur la fonction constante $a - b$. Par exactitude, $H^0(X_n)$ est isomorphe au noyau de $s^*$, et $\delta$ induit un isomorphisme du quotient de $H^0(U \cap V)$ par l'image de $s^*$ sur $H^1(X_n)$ (Espace quotient).

Cas $n = 2$. $U \cap V$ est la réunion des deux demi-plans ouverts $x_1 < 0$ et $x_1 > 0$, et $H^0(U \cap V)$ est de dimension $2$. L'image de $s^*$ est formée des fonctions constantes, de dimension $1$, et son noyau, $\{a = b\}$, aussi. Donc $H^0(X_2)$ et $H^1(X_2)$ sont de dimension $1$. Pour $k \geqslant 1$, $H^{k+1}(X_2) \cong H^k(X_1) = \{0\}$ par (iii) et (i).

Récurrence. Supposons l'énoncé vrai pour $n - 1 \geqslant 2$. Alors $H^0(U \cap V) \cong H^0(X_{n-1})$ est de dimension $1$ : c'est l'espace des fonctions constantes, et $s^*$ est surjective, de noyau de dimension $1$. Donc $H^0(X_n)$ est de dimension $1$ et $H^1(X_n) = \{0\}$.

Pour $k \geqslant 1$, (iii) donne $H^{k+1}(X_n) \cong H^k(X_{n-1})$, de dimension $1$ si $k = n - 2$ et nul sinon. Les degrés $j = k + 1 \geqslant 2$ couvrent tous les degrés restants : $H^j(X_n)$ est de dimension $1$ si $j = n - 1$, et nul sinon.