Formule d'homotopie et invariance de la cohomologie

(i) Régularité. La fonction $(t, x) \mapsto b_J(x, t)$ est continue sur $[0, 1] \times U$, ainsi que toutes ses dérivées partielles en $x$, puisque $b_J$ est de classe $C^\infty$ sur $W$. Par le nœud Schwarz, intégrales à paramètre, (ii), $x \mapsto \int_0^1 b_J(x, t)\,dt$ est de classe $C^\infty$, et l'on peut dériver sous l'intégrale.

Réduction. Les deux membres sont linéaires en $\omega$, puisque $d$, $K$ et les images réciproques le sont. L'application $j_s$, affine, vérifie $j_s^*(dx_l) = dx_l$ et $j_s^*(dt) = 0$ (Formes différentielles, (iii)). Il suffit de traiter deux types de formes. Notons aussi que, par linéarité, $K(c\,dt \wedge \beta) = \big(\int_0^1 c\,dt\big)\,\beta$ pour toute forme $\beta$ à coefficients constants en les seuls $dx_l$, et que $K$ est nulle sur les formes qui ne contiennent pas $dt$.

Premier type : $\omega = a\,dx_I$. Alors $j_s^*\omega = a(x, s)\,dx_I$ et $K\omega = 0$. D'autre part $$d\omega = \sum_l \partial_{x_l}a\,dx_l \wedge dx_I + \partial_t a\,dt \wedge dx_I,$$ dont seul le dernier terme contient $dt$. Pour $x$ fixé, $t \mapsto a(x, t)$ est de classe $C^1$ sur $[0, 1]$, et le théorème fondamental (Théorème fondamental) donne $$\begin{aligned} K(d\omega) &= \big(a(x, 1) - a(x, 0)\big)\,dx_I \\ &= j_1^*\omega - j_0^*\omega. \end{aligned}$$

Second type : $\omega = b\,dt \wedge dx_J$. Alors $j_s^*\omega = 0$, puisque $j_s^*(dt) = 0$. Avec $B(x) = \int_0^1 b(x, t)\,dt$, on a $K\omega = B\,dx_J$, et, en dérivant sous l'intégrale, $$d(K\omega) = \sum_l \Big(\int_0^1 \partial_{x_l}b\,dt\Big)\,dx_l \wedge dx_J.$$ D'autre part, $dt \wedge dt = 0$ et $dx_l \wedge dt = -dt \wedge dx_l$ (Algèbre extérieure, (ii)), d'où $$d\omega = -\sum_l \partial_{x_l}b\,dt \wedge dx_l \wedge dx_J,$$ et $K(d\omega)$ est exactement l'opposé de $d(K\omega)$. La somme est nulle, comme $j_1^*\omega - j_0^*\omega$.

(ii) Soit $F$ une homotopie lisse de $f_0$ à $f_1$. Pour $s \in [0, 1]$, $j_s$ envoie $U$ dans $W$, et $f_s = F \circ j_s$, donc $f_s^* = j_s^* \circ F^*$ (Formes différentielles, (iii)). Pour une forme fermée $\omega$ sur $V$, $F^*\omega$ est fermée, puisque $F^*$ commute à $d$, et (i) donne $$f_1^*\omega - f_0^*\omega = d(KF^*\omega).$$ Les deux formes $f_1^*\omega$ et $f_0^*\omega$ ont donc la même classe.

(iii) Par (ii) et la fonctorialité du nœud Cohomologie de de Rham, (iv), $f^* \circ g^* = (g \circ f)^*$ et $g^* \circ f^* = (f \circ g)^*$ sont les identités, et $f^*$ est bijective.

Pour la projection $p(x, u) = x$, soit $s_0(x) = (x, 0)$. On a $p \circ s_0 = \mathrm{id}_U$, et $s_0 \circ p$ est lissement homotope à l'identité de $U \times \mathbb R$ par $$F\big((x, u), t\big) = (x, tu),$$ définie et de classe $C^\infty$ sur l'ouvert $W = (U \times \mathbb R) \times \mathbb R$ de $\mathbb R^{n+2}$.