ChapitreCohomologie de de Rham

Mayer-Vietoris et homotopie

La cohomologie de de Rham se calcule comme l'homologie, par des suites exactes et l'invariance par homotopie, mais avec des outils différentiels. Une formule d'homotopie, qui intègre une forme dans la direction du temps, montre que deux applications lissement homotopes induisent la même application en cohomologie. Une partition de l'unité subordonnée à deux ouverts, construite sans choix à partir des cubes du nœud Recouvrement par des cubes, rend exacte la suite des formes sur $U \cup V$, $U$, $V$ et $U \cap V$, d'où la suite exacte longue de Mayer-Vietoris.

On en tire la cohomologie de $\mathbb R^n \setminus \{0\}$ : elle est de dimension $1$ en degrés $0$ et $n - 1$, nulle ailleurs, et la forme angle solide, fermée et d'intégrale non nulle sur le bord d'un cube, engendre le degré $n - 1$. Application : sur une sphère de dimension paire, tout champ de vecteurs tangent lisse s'annule. Aucun choix.