Corollaire 1Cohomologie de de Rham

Formes exactes sur les cycles, critère de fermeture

Énoncé

Soit $U$ un ouvert de ${\mathbb R^n}$ et $\omega$ une forme différentielle de degré $k \geqslant 0$ sur $U$ .

(i) Si $k \geqslant 1$ et si $\omega = d\eta$ est exacte, alors $\int_z \omega = 0$ pour tout cycle $z \in Q_k(U)$ , c'est-à-dire toute chaîne de bord nul. En degré $1$ , un cube $c$ de dimension $1$ tel que $c(0) = c(1)$ , lacet lisse, est un cycle, et l'intégrale d'une forme exacte le long d'un tel lacet est nulle.

(ii) $\omega$ est fermée si et seulement si $\int_{\partial c} \omega = 0$ pour tout cube singulier lisse $c$ de dimension $k + 1$ de $U$ .

(iii) Plus précisément, écrivons $d\omega = \sum_J b_J\,dx_J$ . Soit $x \in U$ , $J = (j_0 < \cdots < j_k)$ , et, pour $r > 0$ assez petit, $c_r$ le cube $t \mapsto x + r\sum_{l=0}^{k} t_{l+1}\,e_{j_l}$ , de côté $r$ , construit sur les directions de $J$ . Alors $b_J(x) = \lim_{r \to 0}\ \frac{1}{r^{k+1}}\int_{\partial c_r} \omega.$

Démonstration

(i) Par la formule de Stokes (Formule de Stokes), $\int_z d\eta = \int_{\partial z} \eta = 0$ , puisque $\partial z = 0$ . Pour un cube $c$ de dimension $1$ , $\partial c = c(1) - c(0)$ , nul si $c(0) = c(1)$ .

(iii) Soit $r_0 > 0$ tel que $B_\infty(x, r_0) \subset U$ . Pour $0 < r < r_0$ , l'application affine $\tilde c_r(t) = x + r\sum_l t_{l+1} e_{j_l}$ , de classe $C^\infty$ sur $\mathbb R^{k+1}$ , envoie $I^{k+1}$ dans $B_\infty(x, r_0)$ , puisque les coordonnées de $\tilde c_r(t) - x$ sont dans $[0, r]$ ; sa restriction à l'ouvert $\tilde c_r^{-1}(U)$ , qui contient $I^{k+1}$ , prolonge $c_r$ .

On a $\tilde c_r^*(dx_{j_l}) = r\,dt_{l+1}$ , et $\tilde c_r^*(dx_j) = 0$ si $j$ n'est pas dans $J$ (Formes différentielles, (iii)). Toute suite $J' \neq J$ de $k + 1$ indices contient un indice hors de $J$ , de sorte que $\tilde c_r^*(d\omega) = r^{k+1}\,(b_J \circ \tilde c_r)\,dt_1 \wedge \cdots \wedge dt_{k+1}.$

Soit $\varepsilon > 0$ , et $\rho > 0$ tel que $|b_J(y) - b_J(x)| < \varepsilon$ pour $\|y - x\|_\infty < \rho$ . Pour $r < \min(r_0, \rho)$ , l'encadrement du nœud Intégrales itérées, (ii), donne $\begin{aligned} &\Big|\frac{1}{r^{k+1}}\int_{c_r} d\omega - b_J(x)\Big| \\ &\quad = \Big|\int_{I^{k+1}} \big(b_J \circ \tilde c_r - b_J(x)\big)\Big| \leqslant \varepsilon. \end{aligned}$ La formule de Stokes remplace $\int_{c_r} d\omega$ par $\int_{\partial c_r} \omega$ .

(ii) Si $\omega$ est fermée, $\int_{\partial c} \omega = \int_c d\omega = 0$ par la formule de Stokes. Réciproquement, si toutes ces intégrales sont nulles, (iii) donne $b_J(x) = 0$ pour tout $J$ et tout $x$ : $d\omega = 0$ .

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Remarque

Pour $\omega = x^2\,dy$ sur $\mathbb R^2$ , on a $d\omega = 2x\,dx \wedge dy$ . Au point $(1, 0)$ , le carré $c_r(t) = (1 + rt_1, rt_2)$ donne $\int_{\partial c_r} \omega = r\big((1 + r)^2 - 1\big) = r^2(2 + r)$ , seuls les côtés verticaux contribuant ; divisé par $r^2$ , cela tend vers $2$ , coefficient de $d\omega$ en ce point.

Le point (iii) donne ainsi un sens géométrique à la différentielle extérieure, sans dériver les coefficients : $d\omega$ mesure, par unité de volume, l'intégrale de $\omega$ sur le bord d'un petit cube. En dimension $2$ , c'est la circulation par unité d'aire, que la physique appelle rotationnel.

Remarque

En degré $1$ , le point (i) redonne la nullité de l'intégrale d'une forme exacte sur un lacet (Intégrale d'une 1-forme, (i)) ; la formule $\int_c df = f(c(1)) - f(c(0))$ elle-même est le cas $k = 1$ de la formule de Stokes. Le point (ii), pour un cube $c$ de dimension $2$ , dit que l'intégrale d'une forme fermée sur $\partial c = \beta + \rho - \theta - \lambda$ est nulle. C'est le nœud Invariance par homotopie, (i), dans le cas lisse.

Le nœud Invariance par homotopie va plus loin d'un côté, puisqu'il ne demande à l'homotopie que d'être continue ; la formule de Stokes va plus loin de l'autre, puisqu'elle s'applique à toute forme et donne la valeur $\int_c d\omega$ lorsque la forme n'est pas fermée.

Remarque

Le piège est de voir dans $\partial \circ \partial = 0$ une seconde démonstration de $d \circ d = 0$ . Pour toute chaîne $c$ , la formule de Stokes donne bien $\int_c d(d\eta) = \int_{\partial\partial c} \eta = 0$ , d'où $d(d\eta) = 0$ par (ii) ; mais la démonstration de la formule utilise la commutation $\tilde c^* d = d\,\tilde c^*$ , qui repose elle-même sur $d \circ d = 0$ (Formes différentielles, (iii)). Les deux identités sont duales l'une de l'autre par l'intégration ; aucune ne démontre l'autre ici.

Remarque

Par (ii) et la formule de Stokes, l'intégrale d'une forme fermée de degré $k$ est nulle sur les bords, et l'intégrale sur un cycle ne dépend que de sa classe modulo les bords : on obtient, comme en degré $1$ au nœud Intégration sur les chaînes, une application de ${H^k}(U)$ dans le dual de l'homologie du complexe $Q$ . Que cette application soit un isomorphisme en tout degré, une fois les cubes dégénérés quotientés, est une forme du théorème de de Rham. C'est sa forme simpliciale qui est démontrée en tout degré, au chapitre Théorème de de Rham en tout degré, avec des simplexes lisses que l'on intègre en les paramétrant par des cubes ; la forme cubique, avec le complexe $Q$ quotienté par les cubes dégénérés, n'est pas démontrée.

Repose sur

Formule de Stokes pour les chaînes cubiques

Sert à

Mayer-Vietoris et homotopie