Théorème 6Cohomologie de de Rham

Formule de Stokes pour les chaînes cubiques

Énoncé

Soit $U$ un ouvert de ${\mathbb R^n}$ , $k \geqslant 1$ et $\omega$ une forme différentielle de degré $k - 1$ sur $U$ . Pour toute chaîne cubique $z \in Q_k(U)$ , $\int_z d\omega = \int_{\partial z} \omega.$ C'est la formule de Stokes. Pour $k = 1$ et un cube $c$ , elle s'écrit $\int_c df = f(c(1)) - f(c(0))$ .

Démonstration

Le cube unité. Soit $W$ un ouvert de $\mathbb R^k$ contenant $I^k$ , $\eta$ une forme de degré $k - 1$ sur $W$ , et $\mathbf 1_k$ le cube de $W$ donné par l'inclusion de $I^k$ (Cubes singuliers). Montrons que $\int_{\mathbf 1_k} d\eta = \int_{\partial \mathbf 1_k} \eta$ .

Par Algèbre extérieure, (i), $\eta$ s'écrit $\sum_{i=1}^k f_i\,dx_1 \wedge \cdots \wedge \widehat{dx_i} \wedge \cdots \wedge dx_k$ , où le chapeau signale le facteur omis, avec des $f_i$ de classe $C^\infty$ sur $W$ . Les deux membres étant linéaires en $\eta$ (Formes différentielles, (i), et Intégrale sur une chaîne, (ii)), il suffit de traiter $\eta = f\,dx_1 \wedge \cdots \wedge \widehat{dx_i} \wedge \cdots \wedge dx_k$ .

Premier membre. Dans $d\eta = \sum_j \partial_j f\,dx_j \wedge dx_1 \wedge \cdots \wedge \widehat{dx_i} \wedge \cdots \wedge dx_k$ , seul le terme $j = i$ subsiste, les autres contenant deux fois le même $dx_j$ . Ramener $dx_i$ à sa place coûte $i - 1$ transpositions : $d\eta = (-1)^{i-1}\,\partial_i f\,dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_k.$

L'image réciproque par l'inclusion ne change pas le coefficient, et le nœud Fubini pour les fonctions continues, (iii), permet d'intégrer d'abord en $x_i$ .

Pour $y$ fixé, la fonction $t \mapsto \int_0^t \partial_i f(\iota_{i,s}(y))\,ds - f(\iota_{i,t}(y))$ , avec la notation $\iota_{i,s}(y)$ du nœud Fubini pour les fonctions continues, (iii), a une dérivée nulle (Théorème fondamental), donc est constante (Signe de la dérivée, (ii)). Ainsi $\begin{aligned} &\int_0^1 \partial_i f\big(\iota_{i,s}(y)\big)\,ds \\ &\quad = f\big(\iota_{i,1}(y)\big) - f\big(\iota_{i,0}(y)\big), \end{aligned}$ d'où $\int_{\mathbf 1_k} d\eta = (-1)^{i-1}\int_{I^{k-1}} \big(f \circ \iota_{i,1} - f \circ \iota_{i,0}\big).$

Second membre. La face $(j, \varepsilon)$ de $\mathbf 1_k$ est prolongée par $\iota_{j,\varepsilon}$ , et $\iota_{j,\varepsilon}^*(dx_l) = d(\iota_{j,\varepsilon})_l$ (Formes différentielles, (iii)) vaut $dt_l$ si $l < j$ , $0$ si $l = j$ , et $dt_{l-1}$ si $l > j$ .

Si $j \neq i$ , le facteur $dx_j$ figure dans $\eta$ , dont l'image réciproque est donc nulle. Si $j = i$ , il ne reste que $\iota_{i,\varepsilon}^*\eta = (f \circ \iota_{i,\varepsilon})\,dt_1 \wedge \cdots \wedge dt_{k-1}.$ Par conséquent $\begin{aligned} \int_{\partial\mathbf 1_k} \eta &= \sum_{\varepsilon = 0}^1 (-1)^{i+\varepsilon}\int_{I^{k-1}} f \circ \iota_{i,\varepsilon} \\ &= (-1)^{i+1}\int_{I^{k-1}} \big(f \circ \iota_{i,1} - f \circ \iota_{i,0}\big), \end{aligned}$ qui est le premier membre, puisque $(-1)^{i+1} = (-1)^{i-1}$ . Pour $k = 1$ , $\eta = f$ est une fonction, les faces sont les points $0$ et $1$ , et les deux membres valent $f(1) - f(0)$ .

Cas général. Soit $c$ un cube singulier lisse de dimension $k$ de $U$ , prolongé par $\tilde c : W \to U$ . Par Cubes singuliers, (iii), $c = \tilde c_\#(\mathbf 1_k)$ et $\partial c = \tilde c_\#(\partial \mathbf 1_k)$ .

Par Intégrale sur une chaîne, (iv), et la commutation $\tilde c^* d = d\,\tilde c^*$ (Formes différentielles, (iii)), $\begin{aligned} \int_c d\omega &= \int_{\mathbf 1_k} \tilde c^*(d\omega) = \int_{\mathbf 1_k} d(\tilde c^*\omega) \\ &= \int_{\partial\mathbf 1_k} \tilde c^*\omega = \int_{\partial c} \omega. \end{aligned}$ Les deux membres de la formule sont additifs en $z$ , et $\partial$ est un morphisme : elle vaut pour toutes les chaînes.

Aucun choix n'intervient.

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Remarque

Le cube singulier $c(u, v, w) = (u, uv, uvw)$ de $\mathbb R^3$ envoie $I^3$ sur le tétraèdre $\{0 \leqslant z \leqslant y \leqslant x \leqslant 1\}$ ; deux de ses faces sont dégénérées, la face $u = 0$ écrasée sur l'origine et la face $v = 0$ sur un segment de l'axe des $x$ .

Pour $\omega = x\,dy \wedge dz$ , on a $d\omega = dx \wedge dy \wedge dz$ , et (i) du nœud Intégrale sur une chaîne donne $g = \det dc = u^2v$ , d'où $\int_c d\omega = \int_{I^3} u^2v = \frac16$ , qui est le volume du tétraèdre.

Au bord, seules contribuent la face $u = 1$ , partie du plan $x = 1$ , pour $+\frac12$ , et la face $v = 1$ , partie du plan $y = x$ , pour $-\frac13$ ; les faces $w = 0$ et $w = 1$ , contenues dans les plans $z = 0$ et $z = y$ , où $dy \wedge dz$ a une image réciproque nulle, et les deux faces dégénérées donnent $0$ . On retrouve bien $\frac12 - \frac13 = \frac16$ : c'est le flux du champ $(x, 0, 0)$ à travers la surface du tétraèdre, qui entre par la face oblique et sort par la face $x = 1$ . Ces nombres ont été vérifiés par un calcul formel.

Le tétraèdre image du cube par

c(u, v, w) = (u, uv, uvw)

. Les faces

x = 1

, en bleu, et

y = x

, en vert, sont les seules qui portent un flux du champ

(x, 0, 0)

+\frac12

-\frac13

. La face

u = 0

du cube est écrasée sur l'origine, la face

v = 0

sur le segment rouge de l'axe des

x

; ces faces dégénérées ne contribuent pas.

Remarque

La démonstration ne contient qu'une idée : sur le cube unité, $d\eta$ ne fait intervenir que la dérivée de chaque coefficient dans la direction manquante, et le théorème fondamental de l'analyse, appliqué dans cette direction après Fubini, transforme son intégrale en une différence entre deux faces opposées. Le cas d'un cube singulier s'y ramène par image réciproque, parce que $d$ commute à $\tilde c^*$ . C'est la présentation de Spivak (Calculus on Manifolds, 1965, chapitre 4), qui intègre sur des cubes plutôt que sur des simplexes, parce que Fubini s'y applique directement.

Remarque

La formule porte le nom de Stokes, qui l'a posée en février 1854 à l'examen du prix Smith de Cambridge ; elle figurait dans une lettre de William Thomson à Stokes du 2 juillet 1850. Volterra (1889) puis Poincaré (1899) ont énoncé la forme générale en dimension quelconque, et Élie Cartan l'a écrite avec les formes différentielles extérieures (Les systèmes différentiels extérieurs et leurs applications géométriques, 1945). Sources : V. J. Katz, The History of Stokes' Theorem, Mathematics Magazine 52 (1979), n° 3.

Remarque

La forme classique de la formule porte sur une variété compacte orientée à bord $M$ de dimension $k$ et une forme $\omega$ de degré $k - 1$ : $\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega$ . Elle est démontrée pour $k \geqslant 2$ au chapitre Intégration sur les variétés de cette théorie (Stokes sur une variété), qui construit les trois outils qu'elle demande ; pour $k = 1$ , c'est le théorème fondamental de l'analyse, l'énoncé ci-dessus pour $k = 1$ .

Le premier est la notion même de variété à bord, modelée sur le demi-espace $\{x_k \geqslant 0\}$ , avec l'orientation induite sur le bord (Variétés à bord, Orientation induite) ; la géométrie différentielle (Variétés) ne définit que des variétés sans bord.

Le deuxième est l'intégrale d'une forme de degré maximal sur une variété orientée (Intégrale sur une variété). Définie carte par carte, elle n'est indépendante des cartes que grâce à la formule du changement de variables pour un jacobien positif ; le chapitre la démontre pour l'intégrale de Riemann des fonctions continues à support compact (Changement de variables), sans la théorie de la mesure, puis sur le demi-espace (Changement de variables au bord).

Le troisième est une partition de l'unité. Le nœud Partitions de l'unité les construit sur une variété sans bord ; la même construction, avec des cubes lus dans des cartes à valeurs dans le demi-espace, donne sans choix, au voisinage de tout compact d'une variété à bord, un nombre fini de fonctions dont la somme vaut $1$ (Intégrale sur une variété, (i)).

La preuve se ramène alors, carte par carte, au calcul fait ici sur le cube unité : pour une forme à support compact dans un demi-espace, le théorème fondamental appliqué dans la direction $x_k$ ne laisse que l'intégrale sur l'hyperplan $x_k = 0$ (Stokes sur le demi-espace).

Repose sur

Fubini pour les fonctions continues Intégrale d'une forme sur une chaîne cubique

Sert à

Formes exactes sur les cycles, critère de fermeture Formule de Green-Riemann et théorème de la divergence