Fubini pour les fonctions continues

(i) Pour $u \in [\alpha, \beta]$ et $t \in [\gamma, \delta]$, posons $$\begin{aligned} K(u, t) &= \int_\alpha^u h(s, t)\,ds, \\ H(s) &= \int_\gamma^\delta h(s, t)\,dt. \end{aligned}$$ Pour $u > \alpha$, la fonction $t \mapsto K(u, t)$ est continue, par le nœud Intégrales itérées, (i), appliqué sur $[\alpha, u] \times [\gamma, \delta]$ ; pour $u = \alpha$, elle est nulle. On peut donc poser $A(u) = \int_\gamma^\delta K(u, t)\,dt$, et l'on veut montrer que $A(\beta) = B(\beta)$, où $B(u) = \int_\alpha^u H$.

Dérivée de $B$. $H$ est continue sur $[\alpha, \beta]$ (même nœud, (i)), et le théorème fondamental (Théorème fondamental) donne $B' = H$.

Dérivée de $A$. Soit $\varepsilon > 0$. La fonction $h$ est uniformément continue sur le compact $[\alpha, \beta] \times [\gamma, \delta]$ (Théorème de Heine) : il existe $\eta > 0$ tel que $|h(\xi, t) - h(u, t)| < \varepsilon$ dès que $|\xi - u| < \eta$, quel que soit $t$.

Pour $u$ et $u + s$ dans $[\alpha, \beta]$, avec $0 < |s| < \eta$, la relation de Chasles (Propriétés de l'intégrale, (v)) donne, pour tout $t$, $$\begin{aligned} &K(u + s, t) - K(u, t) - s\,h(u, t) \\ &\quad = \int_u^{u+s} \big(h(\xi, t) - h(u, t)\big)\,d\xi, \end{aligned}$$ quantité majorée en valeur absolue par $|s|\,\varepsilon$ (Inégalité de la moyenne, (i)). En intégrant en $t$, $$\begin{aligned} &\big|A(u + s) - A(u) - s\,H(u)\big| \\ &\quad \leqslant (\delta - \gamma)\,|s|\,\varepsilon. \end{aligned}$$

Ainsi $A$ est continue sur $[\alpha, \beta]$, et dérivable de dérivée $H(u)$ en tout point intérieur. La fonction $A - B$ est donc continue, de dérivée nulle sur $]\alpha, \beta[$, et nulle en $\alpha$ : elle est nulle (Signe de la dérivée, (ii)), et $A(\beta) = B(\beta)$.

(ii) Définition. À chaque étape, on intègre une fonction continue des variables restantes, qui décrivent un produit de segments, par rapport à l'une d'elles : la preuve du nœud Intégrales itérées, (i), s'applique telle quelle, l'ordre des coordonnées ne jouant aucun rôle. Toutes les fonctions intermédiaires sont donc définies et continues.

Échange de deux intégrations consécutives. Soient $\pi$ et $\pi'$ deux ordres qui ne diffèrent que par l'échange des positions $p$ et $p + 1$. Les $p - 1$ premières intégrations sont les mêmes, et fournissent une fonction continue $\varphi$ des variables restantes.

Fixons toutes ces variables sauf $x_{\pi(p)}$ et $x_{\pi(p+1)}$ : par (i), intégrer $\varphi$ par rapport à l'une puis à l'autre, ou dans l'ordre inverse, donne le même nombre. Les deux ordres produisent donc la même fonction des variables non encore intégrées, et les intégrations suivantes, communes, donnent le même résultat.

Conclusion. On passe de l'ordre $\pi$ à l'ordre naturel par un nombre fini de tels échanges : on amène d'abord la variable $x_1$ en première position en l'échangeant successivement avec celles qui la précèdent, puis $x_2$ en deuxième position, et ainsi de suite. L'intégrale ne change à aucune étape.

(iii) L'ordre $(i, 1, \dots, i - 1, i + 1, \dots, n)$ commence par l'intégration en $x_i$, qui produit la fonction $G_i$ des variables restantes, rangées dans l'ordre et renommées $y_1, \dots, y_{n-1}$, continue par Intégrales itérées, (i). Les intégrations suivantes calculent $\int_{P'_i} G_i$, et (ii) conclut.