Proposition 2Cohomologie de de Rham

Intégrale itérée d'une fonction continue sur un pavé

Les nœuds qui suivent établissent la formule de Stokes en tout degré. Il faut d'abord intégrer une fonction de plusieurs variables ; la théorie de la mesure n'étant pas un ancêtre de cette branche, on le fait par des intégrales de Riemann successives, ce qui suffit pour les fonctions continues.

Un pavé de ${\mathbb R^n}$ , $n \geqslant 1$ , est un produit $P = \prod_{i=1}^n [a_i, b_i]$ de segments, avec $a_i < b_i$ ; son volume est $v(P) = \prod_i (b_i - a_i)$ . Le cube unité est $I^n = [0, 1]^n$ . Par convention, $\mathbb R^0$ est réduit à un point, ainsi que tout pavé de $\mathbb R^0$ , en particulier $I^0$ , et l'intégrale d'une fonction sur un tel pavé est sa valeur en ce point.

Soit $g$ une fonction réelle continue sur $P$ , muni de la topologie induite. On pose $g_0 = g$ et, pour $1 \leqslant j \leqslant n$ , $\begin{aligned} &g_j(x_{j+1}, \dots, x_n) \\ &\quad = \int_{a_j}^{b_j} g_{j-1}(t, x_{j+1}, \dots, x_n)\,dt, \end{aligned}$ fonction définie sur le pavé $\prod_{i > j}[a_i, b_i]$ , et réduite à un nombre pour $j = n$ .

L'intégrale itérée de $g$ sur $P$ est ce nombre : $\int_P g = g_n.$ On intègre d'abord par rapport à $x_1$ , puis à $x_2$ , et ainsi de suite ; le nœud suivant montrera que l'ordre est indifférent.

Énoncé

(i) Intégrales à paramètre. Soit $K$ une partie compacte de $\mathbb R^q$ et $h$ une fonction continue sur $[a, b] \times K$ . La fonction $x \mapsto \int_a^b h(t, x)\,dt$ est continue sur $K$ . Par suite, chaque $g_j$ est bien définie et continue, et $\int_P g$ a un sens ; ce nombre ne dépend que des valeurs de $g$ sur $P$ .

(ii) L'intégrale itérée est linéaire et croissante en $g$ , et $\int_P 1 = v(P)$ . Si $m \leqslant g \leqslant M$ sur $P$ , alors $m\,v(P) \leqslant \int_P g \leqslant M\,v(P).$

(iii) Changement de variable affine. Soit $\alpha_P(t) = \big(a_1 + (b_1 - a_1)t_1, \dots, a_n + (b_n - a_n)t_n\big)$ , qui envoie $I^n$ sur $P$ . Alors $\int_P g = v(P)\int_{I^n} g \circ \alpha_P.$

Démonstration

(i) Le produit $[a, b] \times K$ est fermé et borné dans $\mathbb R^{q+1}$ , donc compact (L'espace ℝⁿ, (iii)). Par le théorème de Heine (Théorème de Heine), appliqué pour la distance $d_\infty$ , à tout $\varepsilon > 0$ correspond $\delta > 0$ tel que $|h(t, x) - h(t, x')| < \varepsilon$ dès que $\|x - x'\|_\infty < \delta$ , quel que soit $t \in [a, b]$ .

Le même théorème, appliqué aux points $(t, x)$ et $(t', x)$ , montre que chaque fonction $t \mapsto h(t, x)$ est uniformément continue sur $[a, b]$ , donc intégrable (Fonctions continues, (i)). Pour $x, x' \in K$ tels que $\|x - x'\|_\infty < \delta$ , l'inégalité de la moyenne (Inégalité de la moyenne, (i)), appliquée à la différence, donne $\begin{aligned} &\Big|\int_a^b h(t, x)\,dt - \int_a^b h(t, x')\,dt\Big| \\ &\quad \leqslant (b - a)\,\varepsilon. \end{aligned}$

Supposons $g_{j-1}$ continue sur $[a_j, b_j] \times K_j$ , où $K_j = \prod_{i > j}[a_i, b_i]$ est compact pour la même raison. Ce qui précède montre que $g_j$ est définie et continue sur $K_j$ ; pour $j = n$ , $K_n$ est un point et $g_n$ est l'intégrale d'une fonction continue d'une variable. Par récurrence, toutes les $g_j$ sont définies et continues.

Enfin $g_j$ ne fait intervenir $g_{j-1}$ que sur $[a_j, b_j] \times K_j$ : par récurrence, seules comptent les valeurs de $g$ sur $P$ .

(ii) Si $g \leqslant g'$ sur $P$ , alors $g_j \leqslant g'_j$ pour tout $j$ , par récurrence et par croissance de l'intégrale (Propriétés de l'intégrale, (ii)) ; la linéarité passe de même d'une étape à la suivante (même nœud, (i)).

Pour $g = 1$ , on trouve $g_j = \prod_{i \leqslant j}(b_i - a_i)$ , et $g_n = v(P)$ . L'encadrement vient de la croissance appliquée à $m \leqslant g \leqslant M$ .

(iii) En une variable. Soit $\varphi$ continue sur $[a, b]$ . La fonction $\begin{aligned} s \mapsto &\int_a^{a + (b - a)s} \varphi \\ &- (b - a)\int_0^s \varphi\big(a + (b - a)u\big)\,du \end{aligned}$ est dérivable sur $[0, 1]$ , de dérivée $(b - a)\varphi(a + (b - a)s) - (b - a)\varphi(a + (b - a)s) = 0$ , par le théorème fondamental (Théorème fondamental) et la dérivée d'une composée (Dérivée d'une composée).

Elle est nulle en $0$ , donc nulle (Signe de la dérivée, (ii)), et sa valeur en $s = 1$ donne $\int_a^b \varphi = (b - a)\int_0^1 \varphi\big(a + (b - a)u\big)\,du.$

En $n$ variables. Notons $\alpha_i(t) = a_i + (b_i - a_i)t$ et $\tilde g = g \circ \alpha_P$ , continue sur $I^n$ . Montrons par récurrence sur $j$ que $\begin{aligned} &\tilde g_j(t_{j+1}, \dots, t_n) \\ &\quad = \frac{g_j\big(\alpha_{j+1}(t_{j+1}), \dots, \alpha_n(t_n)\big)}{\prod_{i \leqslant j}(b_i - a_i)}. \end{aligned}$ C'est clair pour $j = 0$ . Le passage de $j - 1$ à $j$ est la formule en une variable, appliquée sur $[a_j, b_j]$ à la fonction $x \mapsto g_{j-1}\big(x, \alpha_{j+1}(t_{j+1}), \dots, \alpha_n(t_n)\big)$ . Pour $j = n$ , c'est l'égalité annoncée.

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Remarque

Pour $g(x, y) = x + y$ sur $P = [0, 1] \times [0, 2]$ , on trouve $g_1(y) = \frac12 + y$ , puis $\int_P g = \int_0^2 \big(\frac12 + y\big)\,dy = 3$ . Rapporté au volume $v(P) = 2$ , c'est la valeur moyenne $\frac32$ de $g$ sur $P$ , qui est ici sa valeur au centre $\big(\frac12, 1\big)$ , puisque $g$ est affine.

Remarque

Pour les fonctions continues sur un pavé, l'intégrale itérée coïncide avec l'intégrale de Lebesgue, par le théorème de Fubini de la théorie de la mesure (Tonelli, Fubini). Ce théorème n'est pas un ancêtre de cette branche, et rien ici n'en dépend : la formule de Stokes ne demande que des fonctions continues sur un cube, que l'intégrale de Riemann suffit à traiter.

Remarque

L'erreur la plus répandue est d'appliquer la définition à une fonction qui n'est continue que sur une partie du pavé. Pour $g(x, y) = \frac{x - y}{(x + y)^3}$ sur $[0, 1]^2 \setminus \{(0, 0)\}$ , qui n'est bornée sur aucun voisinage de l'origine, les intégrales successives ont encore un sens, la première pour $y > 0$ , la seconde après prolongement par continuité en $0$ , mais leur valeur dépend de l'ordre ; c'est l'objet de la première remarque du nœud Fubini pour les fonctions continues.

Repose sur

C'est un point de départ.

Sert à

Fubini pour les fonctions continues Intégrale d'une forme sur une chaîne cubique