Théorème 9Mesure, intégration

Théorèmes de Tonelli et de Fubini

Énoncé

Soient $\mu$ et $\nu$ σ-finies.

(i) Tonelli. Si $f : X \times Y \to {[0, +\infty]}$ est $\mathcal A \otimes \mathcal B$ -mesurable, les fonctions $y \mapsto f(x, y)$ et $x \mapsto \int f(x, y)\, d\nu(y)$ sont mesurables, de même en échangeant les rôles, et $\begin{aligned} &\int f \, d(\mu \otimes \nu) \\ &= \int_X \Big(\int_Y f(x, y)\, d\nu(y)\Big) d\mu(x) \\ &= \int_Y \Big(\int_X f(x, y)\, d\mu(x)\Big) d\nu(y). \end{aligned}$

(ii) Fubini. Si $f$ est intégrable pour $\mu \otimes \nu$ , alors $f(x, \cdot)$ est $\nu$ -intégrable pour $\mu$ -presque tout $x$ ; la fonction $x \mapsto \int f(x, y)\, d\nu(y)$ , définie presque partout et prolongée par $0$ , est $\mu$ -intégrable ; et les égalités de (i) ont lieu.

Démonstration

(i) Pour $f = \mathbf 1_E$ , c'est le théorème de la mesure produit. Par linéarité, l'énoncé vaut pour les fonctions étagées positives.

Pour $f$ quelconque, soit $(s_n)$ une suite croissante d'étagées positives de limite $f$ (Fonctions étagées). Pour chaque $x$ , $s_n(x, \cdot)$ croît vers $f(x, \cdot)$ , qui est mesurable puisque $\{f(x, \cdot) > a\} = \{f > a\}_x$ ; par convergence monotone, $\int s_n(x, y)\, d\nu(y)$ croît vers $\int f(x, y)\, d\nu(y)$ , qui est donc mesurable en $x$ , et une seconde application de la convergence monotone donne l'égalité.

(ii) On applique (i) à $f^+$ et $f^-$ , d'intégrales finies. Les fonctions $F^\pm(x) = \int f^\pm(x, y)\, d\nu(y)$ sont d'intégrale finie, donc finies hors d'un ensemble négligeable $N$ (Intégrale positive, (iv)), qui est mesurable. Hors de $N$ , $f(x, \cdot)$ est intégrable, d'intégrale $F^+(x) - F^-(x)$ .

La fonction $\mathbf 1_{N^c}(F^+ - F^-)$ est mesurable et intégrable, d'intégrale $\begin{aligned} \int F^+ - \int F^- &= \int f^+ \, d(\mu \otimes \nu) \\ &\quad - \int f^- \, d(\mu \otimes \nu). \end{aligned}$

□

Remarque

L'erreur la plus répandue est d'intervertir les intégrales sans vérifier la positivité ou l'intégrabilité. Sur ${\mathbb N} \times \mathbb N$ avec la mesure de comptage, soit $a_{mn} = 1$ si $m = n$ , $-1$ si $m = n + 1$ , et $0$ sinon.

Pour $n$ fixé, $\sum_m a_{mn} = 1 - 1 = 0$ , d'où $\sum_n \sum_m a_{mn} = 0$ ; pour $m$ fixé, $\sum_n a_{mn}$ vaut $1$ si $m = 0$ et $0$ sinon, d'où $\sum_m \sum_n a_{mn} = 1$ . La fonction n'est pas intégrable : $\sum_{m,n} |a_{mn}| = +\infty$ .

Chaque colonne contient un

1

et un

-1

et a une somme nulle, tandis que la ligne

m = 0

ne contient que le

1

de la diagonale. Sommer d'abord en

m

donne donc

0

, sommer d'abord en

n

donne

1

: le

1

de la case

(0, 0)

n'est compensé que si l'on somme par colonnes.

Remarque

L'hypothèse de σ-finitude est nécessaire. Sur $[0, 1]^2$ , avec $\mu = \lambda$ et $\nu$ la mesure de comptage, la diagonale $D$ donne $\int \nu(D_x)\, d\lambda(x) = \int 1 \, d\lambda = 1$ , alors que $\int \lambda(D^y)\, d\nu(y) = \int 0 \, d\nu = 0$ .

Repose sur

Tribu produit et mesure produit Fonctions intégrables

Sert à

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