Théorème 8Mesure, intégration

Tribu produit et mesure produit

Soient $(X, \mathcal A, \mu)$ et $(Y, \mathcal B, \nu)$ deux espaces mesurés σ-finis. La tribu produit $\mathcal A \otimes \mathcal B$ est la tribu sur $X \times Y$ engendrée par les pavés $A \times B$ , $A \in \mathcal A$ , $B \in \mathcal B$ . Pour $E \subset X \times Y$ et $x \in X$ , la section est $E_x = \{y : (x, y) \in E\}$ ; on définit de même $E^y$ .

Énoncé

(i) Pour $E \in \mathcal A \otimes \mathcal B$ , chaque section $E_x$ appartient à $\mathcal B$ , et chaque $E^y$ à $\mathcal A$ .

(ii) Les fonctions $x \mapsto \nu(E_x)$ et $y \mapsto \mu(E^y)$ sont mesurables.

(iii) Il existe une unique mesure $\mu \otimes \nu$ sur $\mathcal A \otimes \mathcal B$ telle que $(\mu \otimes \nu)(A \times B) = \mu(A)\,\nu(B)$ , la mesure produit, et $\begin{aligned} (\mu \otimes \nu)(E) &= \int_X \nu(E_x)\, d\mu(x) \\ &= \int_Y \mu(E^y)\, d\nu(y). \end{aligned}$

Démonstration

(i) L'ensemble des $E$ dont toutes les sections sont dans $\mathcal B$ est une tribu, car le passage aux sections commute avec le complémentaire et les réunions, et il contient les pavés, dont les sections sont $B$ ou $\varnothing$ .

(ii) Supposons d'abord $\nu$ finie. L'ensemble $\mathcal D$ des $E$ tels que $x \mapsto \nu(E_x)$ soit mesurable contient les pavés, pour lesquels $\nu(E_x) = \nu(B)\mathbf 1_A(x)$ .

C'est une classe monotone : si $E \subset F$ , $\nu((F \setminus E)_x) = \nu(F_x) - \nu(E_x)$ , la mesure étant finie, et une réunion croissante donne une limite croissante de fonctions mesurables.

Les pavés forment un π-système, puisque $(A \times B) \cap (A' \times B') = (A \cap A') \times (B \cap B')$ ; le lemme de Dynkin (Classes monotones) donne $\mathcal D = \mathcal A \otimes \mathcal B$ .

Si $\nu$ est σ-finie, avec $Y_n$ croissants de mesure finie, $\nu(E_x) = \lim_n \nu(E_x \cap Y_n)$ est une limite de fonctions mesurables, par le cas fini appliqué à $\nu(\cdot \cap Y_n)$ .

(iii) Posons $\pi(E) = \int \nu(E_x)\, d\mu(x)$ . Si les $E_n$ sont disjoints, leurs sections le sont, et $\nu\big((\bigcup E_n)_x\big) = \sum_n \nu((E_n)_x)$ ; la convergence monotone (Convergence monotone, (ii)) montre que $\pi$ est σ-additive. On a $\pi(A \times B) = \int \nu(B)\mathbf 1_A \, d\mu = \mu(A)\nu(B)$ .

La formule symétrique définit une mesure $\pi'$ ayant les mêmes valeurs sur les pavés. Si $X_n$ et $Y_n$ sont croissants de mesures finies et de réunions $X$ et $Y$ , les pavés $X_n \times Y_n$ croissent vers $X \times Y$ ; l'unicité du nœud Classes monotones donne $\pi = \pi'$ , et toute mesure ayant les mêmes valeurs sur les pavés leur est égale.

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Remarque

La mesure de Lebesgue du plan est $\lambda \otimes \lambda$ sur ${\mathcal B}({\mathbb R}) \otimes \mathcal B(\mathbb R)$ , qui est la tribu borélienne de ${\mathbb R^2}$ , les ouverts du plan étant réunions dénombrables de pavés à extrémités rationnelles. La formule (iii) est le principe de Cavalieri : l'aire d'une partie du plan est l'intégrale des longueurs de ses sections verticales. La mesure de Lebesgue de $\mathbb R^n$ et la formule du changement de variables sont établies plus loin, au chapitre Changement de variables des équations différentielles.

Pour

E = \{(x, y) : 0 \leqslant x \leqslant 1,\ x^2 \leqslant y \leqslant x\}

, les sections verticales

E_x = [x^2, x]

et les sections horizontales

E^y = [y, \sqrt y]

donnent la même aire :

\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \int_0^1 (\sqrt y - y)\,dy = \frac16

Repose sur

Lemme de Dynkin et unicité des mesures Théorème de convergence monotone (Beppo Levi)

Sert à

Théorèmes de Tonelli et de Fubini