ChapitreÉquations différentielles

Changement de variables et conservation du volume

Si $\varphi$ est un $C^1$-difféomorphisme d'un ouvert $U$ de ${\mathbb R^n}$ sur un ouvert $V$, toute fonction borélienne positive $f$ sur $V$ vérifie $$\int_V f\,d\lambda = \int_U f \circ \varphi\,|\det d\varphi|\,d\lambda.$$

Le chapitre construit la mesure de Lebesgue de $\mathbb R^n$ comme mesure produit, montre qu'une application linéaire $A$ multiplie les mesures par $|\det A|$, puis compare l'image d'un petit cube $Q$ de centre $a$ au parallélépipède $\varphi(a) + d\varphi(a)(Q - a)$ : les accroissements finis donnent une inclusion, le point fixe l'inclusion inverse. Les cubes dyadiques et le lemme de Dynkin étendent l'égalité aux boréliens, sans régularité de la mesure. Les coordonnées polaires en sont le premier exemple, et donnent $\int_{\mathbb R} e^{-x^2}\,dx = \sqrt\pi$.

Le chapitre est placé ici parce que la théorie des équations différentielles est la première de l'édifice dont la mesure, le calcul différentiel, l'algèbre linéaire et l'analyse complexe, qui fournit la forme polaire $z = |z|\exp(i\theta)$, soient tous des ancêtres. Appliquée au flot d'un champ de vecteurs, la formule donne le théorème de Liouville : le flot d'un champ de divergence nulle conserve le volume. Aucune forme du choix n'intervient, en dehors du choix dénombrable que demande la mesure de Lebesgue elle-même.