Mesure de l'image d'un cube par un difféomorphisme

(i) La règle de la chaîne (Différentielle, (iv)), appliquée à $\varphi^{-1} \circ \varphi = \mathrm{id}_U$ et à $\varphi \circ \varphi^{-1} = \mathrm{id}_V$, montre que $d(\varphi^{-1})(\varphi(z))$ est l'inverse de $d\varphi(z)$.

Le déterminant est une fonction polynomiale des coefficients, donc continue, et $d\varphi$ est continue : $J$ l'est aussi. L'inversion des matrices est continue sur ${GL_n}(\mathbb R)$ (Groupe linéaire, (iii)), ainsi que la norme, d'où la continuité de $z \mapsto |||d\varphi(z)^{-1}|||$.

(ii) Les constantes. Le cube $K = C(c, r)$ est fermé et borné, donc compact (L'espace ℝⁿ, (iii)). Les fonctions continues $|J|$ et $z \mapsto |||d\varphi(z)^{-1}|||$ y sont bornées (Compacts de ℝ, (iii)), par des constantes $M'$ et $M > 0$. En particulier, $\int_P |J| \leqslant M'\lambda(P)$ est fini.

Soit $\varepsilon \in \,]0, 1[$. Par le théorème de Heine (Théorème de Heine), appliqué à $d\varphi$ et à $J$ sur $K$, il existe $\delta > 0$ tel que, pour $z, z' \in K$ avec $\|z - z'\| < \delta$, $$\begin{aligned} |||d\varphi(z) - d\varphi(z')||| &\leqslant \frac{\varepsilon}{M}, \\ |J(z) - J(z')| &\leqslant \varepsilon. \end{aligned}$$

Découpage. Soit $k$ un entier tel que $s = r2^{-k} < \delta$, et notons $\mathbf 1 = (1, \dots, 1)$. Pour $m \in \{0, \dots, 2^k - 1\}^n$, posons $c_m = c - r\mathbf 1 + (2m + \mathbf 1)s$ et $P_m = c_m + \,]{-s}, s]^n$. Ces $2^{kn}$ cubes forment une partition de $P$, puisque $]{-r}, r]$ est la réunion disjointe des $2^k$ intervalles $]{-r} + 2ls,\ -r + 2(l + 1)s]$, et leurs adhérences $C(c_m, s)$ sont contenues dans $K$.

Chaque petit cube. Pour $z \in C(c_m, s)$, on a $\|z - c_m\| \leqslant s < \delta$, donc $$\begin{aligned} &|||d\varphi(c_m)^{-1}d\varphi(z) - I||| \\ &\quad \leqslant |||d\varphi(c_m)^{-1}|||\;|||d\varphi(z) - d\varphi(c_m)||| \\ &\quad \leqslant \varepsilon. \end{aligned}$$ Le nœud Image d'un petit cube, (iii), appliqué avec $\eta = \varepsilon$, encadre $\lambda(\varphi(P_m))$ entre $(1 - \varepsilon)^n|J(c_m)|\,\lambda(P_m)$ et $(1 + \varepsilon)^n|J(c_m)|\,\lambda(P_m)$.

Sur $P_m$, la fonction $|J|$ est à moins de $\varepsilon$ de $|J(c_m)|$ ; par croissance et linéarité de l'intégrale, $$\begin{aligned} \int_{P_m} |J| - \varepsilon\lambda(P_m) &\leqslant |J(c_m)|\,\lambda(P_m) \\ &\leqslant \int_{P_m} |J| + \varepsilon\lambda(P_m). \end{aligned}$$

Sommation. Comme $\varphi$ est injective, $\varphi(P)$ est la réunion disjointe des $\varphi(P_m)$. On somme les encadrements, $A \mapsto \int_A |J|$ étant une mesure (Convergence monotone, (iii)) : $$\begin{aligned} \lambda(\varphi(P)) &\leqslant (1 + \varepsilon)^n\Big(\int_P |J| + \varepsilon\lambda(P)\Big), \\ \lambda(\varphi(P)) &\geqslant (1 - \varepsilon)^n\Big(\int_P |J| - \varepsilon\lambda(P)\Big). \end{aligned}$$ On fait tendre $\varepsilon$ vers $0$.