Proposition 1Calcul différentiel

Le groupe linéaire et l'inversion des matrices

Comme au nœud Matrices, une matrice $A \in {\mathcal M_n}({\mathbb R})$ est inversible s'il existe $B$ telle que $AB = BA = {I_n}$ ; c'est le cas si et seulement si l'endomorphisme $x \mapsto Ax$ est bijectif, c'est-à-dire si et seulement si $\det A \neq 0$ (Déterminant d'une matrice, (ii)).

Les matrices inversibles forment un groupe pour le produit, le groupe linéaire $GL_n(\mathbb R)$ (Matrices, (iv)). On munit $\mathcal M_n(\mathbb R) \cong {\mathcal L}({\mathbb R^n})$ de la norme subordonnée $|||\cdot|||$ à une norme de $\mathbb R^n$ .

Énoncé

(i) Série de Neumann. Si $|||H||| < 1$ , la série $\sum_{m \geqslant 0} H^m$ converge, $I - H$ est inversible, d'inverse sa somme, et $|||(I - H)^{-1}||| \leqslant \dfrac{1}{1 - |||H|||}$ .

(ii) $GL_n(\mathbb R)$ est un ouvert de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ .

(iii) L'application $\mathrm{inv} : A \mapsto A^{-1}$ est de classe $C^\infty$ sur $GL_n(\mathbb R)$ , et $d\,\mathrm{inv}(A)(H) = -A^{-1} H A^{-1}.$

Démonstration

(i) Soit $S_m = \sum_{j=0}^m H^j$ . Pour $q > m$ , $\begin{aligned} |||S_q - S_m||| &\leqslant \sum_{j=m+1}^q |||H|||^j \\ &\leqslant \frac{|||H|||^{m+1}}{1 - |||H|||}, \end{aligned}$ qui tend vers $0$ ; la suite $(S_m)$ est de Cauchy, donc converge vers une matrice $S$ , l'espace $\mathcal M_n(\mathbb R)$ étant complet (Équivalence des normes).

On a $(I - H)S_m = S_m(I - H) = I - H^{m+1}$ , qui tend vers $I$ ; la multiplication par une matrice fixée étant linéaire, donc continue, $(I - H)S = S(I - H) = I$ . Enfin $|||S_m||| \leqslant 1/(1 - |||H|||)$ pour tout $m$ , et l'inégalité passe à la limite.

(ii) Le déterminant est une fonction polynomiale des $n^2$ coefficients, donc continue (Classe Cᵏ, (iii)), et $GL_n(\mathbb R)$ est l'image réciproque par $\det$ de l'ouvert $\mathbb R \setminus \{0\}$ .

(iii) La fonction $r(t) = 1/t$ est dérivable sur $\mathbb R \setminus \{0\}$ , de dérivée $-r^2$ , puisque son taux d'accroissement $-1/\big(t(t + h)\big)$ tend vers $-1/t^2$ . Si $r$ est de classe $C^k$ , sa dérivée $-r^2$ l'est aussi, comme produit, donc $r$ est de classe $C^{k+1}$ : $r$ est $C^\infty$ .

Par la formule de la comatrice (Comatrice), le coefficient $(i, j)$ de $A^{-1}$ est $r(\det A)\, C_{ji}(A)$ , produit de deux fonctions $C^\infty$ de $A$ , le cofacteur étant polynomial : $\mathrm{inv}$ est de classe $C^\infty$ .

Enfin $A \cdot \mathrm{inv}(A) = I$ est constante sur $GL_n(\mathbb R)$ ; en différentiant ce produit, qui est bilinéaire (Différentielle, (iii) et (iv)), on obtient $H A^{-1} + A\, d\,\mathrm{inv}(A)(H) = 0,$ d'où la formule.

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Remarque

Pour $n = 1$ , la formule redonne la dérivée $-h/a^2$ de $x \mapsto 1/x$ . L'erreur la plus répandue est d'écrire $-A^{-2}H$ : le produit des matrices n'étant pas commutatif, $H$ reste pris entre les deux facteurs $A^{-1}$ .

Remarque

La série de Neumann donne davantage que le déterminant : un rayon explicite. Si $A$ est inversible et $|||H||| < 1/|||A^{-1}|||$ , alors $A + H = A(I + A^{-1}H)$ est inversible par (i). C'est cette forme quantitative qu'emploie l'inversion locale, et elle vaut en dimension infinie, dans les espaces de Banach, où le déterminant n'a plus de sens.

Repose sur

Fonctions de classe Cᵏ Algèbre linéaire

Sert à

Théorème d'inversion locale